Формулы синуса тройного угла в вычислительных примерах — задания на закрепление, 10 класс

Формула и два способа проверки

Для любого действительного угла α выполняется sin(3α)=3sinα−4sin³α. Её получают из формулы синуса суммы: sin(2α+α)=sin2α·cosα+cos2α·sinα, затем подставляют sin2α=2sinαcosα и cos2α=1−2sin²α. В результате остаётся выражение только через sinα. Следовательно, знать четверть, в которой расположен α, для нахождения sin3α по известному sinα не нужно.

Значение синуса всегда лежит между −1 и 1. При вычислениях с дробями удобнее сначала найти куб значения, умножить его на 4 и лишь затем вычесть из утроенного синуса. Для углов в градусах можно проверить ответ через значение синуса тройного угла по таблице стандартных углов.

Серия I. Вычисление по известному синусу

В упражнениях 1–12 sinα дан точно. Найдите sin3α, не определяя сам угол α.

1. sinα=1/2; вычислите sin3α.
2. sinα=−1/2; вычислите sin3α.
3. sinα=1/4; вычислите sin3α.
4. sinα=−1/4; вычислите sin3α.
5. sinα=3/4; вычислите sin3α.
6. sinα=−3/4; вычислите sin3α.
7. sinα=2/3; вычислите sin3α.
8. sinα=−2/3; вычислите sin3α.
9. sinα=1/3; вычислите sin3α.
10. sinα=−1/3; вычислите sin3α.
11. sinα=3/5; вычислите sin3α.
12. sinα=4/5; вычислите sin3α.

Серия II. Угол в градусах

Здесь можно применить формулу sin3α или в уме умножить заданный угол на три. Следите за знаком тригонометрической функции, когда полученный угол больше 180°.

13. Найдите sin(3·10°).
14. Найдите sin(3·20°).
15. Найдите sin(3·30°).
16. Найдите sin(3·40°).
17. Найдите sin(3·50°).
18. Найдите sin(3·60°).
19. Найдите sin(3·70°).
20. Найдите sin(3·80°).

Серия III. Распознать формулу и преобразовать

21. Выразите sin3x через s, если s=sinx.
22. Упростите 4sinx−sin3x.
23. Упростите sin3x+sinx, используя cos²x=1−sin²x.
24. Докажите, что sin3x=sinx(3−4sin²x), и установите, когда sin3x=0 при sinx=0.

Ответы: серия I

1. 1; подстановка: 3s−4s³ при s=1/2.
2. −1; подстановка: 3s−4s³ при s=−1/2.
3. 11/16; подстановка: 3s−4s³ при s=1/4.
4. −11/16; подстановка: 3s−4s³ при s=−1/4.
5. 9/16; подстановка: 3s−4s³ при s=3/4.
6. −9/16; подстановка: 3s−4s³ при s=−3/4.
7. 22/27; подстановка: 3s−4s³ при s=2/3.
8. −22/27; подстановка: 3s−4s³ при s=−2/3.
9. 23/27; подстановка: 3s−4s³ при s=1/3.
10. −23/27; подстановка: 3s−4s³ при s=−1/3.
11. 117/125; подстановка: 3s−4s³ при s=3/5.
12. 44/125; подстановка: 3s−4s³ при s=4/5.

Ответы: серия II

13. 1/2, поскольку 3·10°=30°.
14. √3/2, поскольку 3·20°=60°.
15. 1, поскольку 3·30°=90°.
16. √3/2, поскольку 3·40°=120°.
17. 1/2, поскольку 3·50°=150°.
18. 0, поскольку 3·60°=180°.
19. −1/2, поскольку 3·70°=210°.
20. −√3/2, поскольку 3·80°=240°.

Разбор серии III

21. 3s−4s³; замена s=sinx не меняет тождество.
22. 4sinx−(3sinx−4sin³x)=sinx+4sin³x.
23. 4sinx−4sin³x=4sinx(1−sin²x)=4sinx·cos²x.
24. Вынесите sinx за скобки. Если sinx=0, то произведение равно 0, значит и sin3x=0. Это достаточное условие, но не единственное: например, x=60° тоже даёт sin3x=0 при sinx≠0.

Контроль вычислений: при sinα=1/2 формула даёт 3/2−4·1/8=1. При sinα=−1/2 по нечётности выходит −1. Если у вас получилось число по модулю больше 1, проверьте знак и возведение в куб; для допустимого sinα результат всегда находится в диапазоне [−1;1].

Самостоятельная сверка вычислений на двух дробях

Проверим упражнение 7 подробно: при s=2/3 имеем 3s=2 и 4s³=4·8/27=32/27. Разность 54/27−32/27 равна 22/27, что находится между −1 и 1. Для упражнения 11 при s=3/5 получаем 3s=9/5=225/125 и 4s³=108/125; ответ 117/125. Не следует округлять синус до десятичной дроби до конца вычислений — это может скрыть ошибку знака.

Обратите внимание на чётность и нечётность степеней: если заменить s на −s, то 3s−4s³ изменяет знак. Поэтому ответы для s=1/4 и s=−1/4 обязаны быть противоположными. Но если угол меняется с 20° на 40°, ответы синуса тройного угла могут совпасть: sin60°=sin120°. Это свойство связано с положением углов на окружности, а не с пропуском в формуле.