Понижение степени синуса в тригонометрических выражениях — рабочий лист для 10 класса

Разбор по шагам: почему возникает удвоенный угол

Начнём с задачи: выразить sin²x без квадратной степени тригонометрической функции. Из cos2x=1−2sin²x следует sin²x=(1−cos2x)/2. Это формула понижения степени. С её помощью преобразуют выражения и вычисляют точные значения, не прибегая к десятичным приближениям.

Два метода на одном примере

Задача: найти sin²15°. Метод 1: sin²15°=(1−cos30°)/2=(2−√3)/4. Метод 2: sin15°=(√6−√2)/4; возведение этого числа в квадрат также даёт (2−√3)/4. Первый метод короче: он сразу переводит задачу к табличному углу 30°.

Границы применения: выражение sin²x определено для всех действительных x. При возведении синуса в квадрат отрицательный знак исходного синуса пропадает. Не заменяйте sin²x на sin(x²): это совершенно разные функции.

Рабочий лист — 17 заданий с местом для преобразований

В каждом задании выпишите формулу, укажите новый аргумент и выполните преобразование. Для численных значений оставляйте точный ответ с радикалом. На бумаге можно использовать вторую строку под каждым пунктом как место для промежуточного вычисления.

1. Запишите sin²(3x) через косинус удвоенного аргумента.
2. Понизьте степень в sin²(x/2).
3. Упростите 2sin²x.
4. Упростите 1−2sin²x.
5. Преобразуйте 4sin²x−2.
6. Выразите sin²x−1/2 без квадрата синуса.
7. Преобразуйте 3sin²2t в линейную комбинацию 1 и cos4t.
8. Упростите 2sin²x+cos2x.
9. Вычислите sin²15° точно.
10. Вычислите sin²75° точно.
11. Найдите sin²22,5°.
12. Найдите sin²67,5°.
13. Выразите sin⁴x через cos2x и cos4x.
14. Понизьте степень суммы sin²x+sin²y.
15. Упростите sin²x+sin²(x+90°), где x измеряется в градусах.
16. Проверьте утверждение «sin²x=(1+cos2x)/2» при x=0°: верно ли оно?
17. Преобразуйте 8sin⁴x−8sin²x+1 без степеней синуса.

Ответы и развёрнутая сверка

1. (1−cos6x)/2: удваивается весь аргумент 3x.
2. (1−cosx)/2: двойной аргумент равен x.
3. 1−cos2x.
4. cos2x: это одна из формул двойного угла.
5. −2cos2x: 4·(1−cos2x)/2−2=−2cos2x.
6. −cos2x/2.
7. (3/2)(1−cos4t): коэффициент 3 умножается на всю дробь.
8. 1: (1−cos2x)+cos2x=1.
9. (2−√3)/4, так как cos30°=√3/2.
10. (2+√3)/4, так как cos150°=−√3/2.
11. (2−√2)/4, поскольку cos45°=√2/2.
12. (2+√2)/4, поскольку cos135°=−√2/2.
13. (3−4cos2x+cos4x)/8. Раскройте квадрат ((1−cos2x)/2)², затем замените cos²2x на (1+cos4x)/2.
14. 1−(cos2x+cos2y)/2. Подстановка применяется к каждому слагаемому отдельно.
15. 1: sin(x+90°)=cosx, а sin²x+cos²x=1.
16. Нет: при x=0 левая часть 0, неверная правая часть 1. Правильная формула имеет знак «минус».
17. cos4x. Это тождество cos4x=1−8sin²x+8sin⁴x.

Сравнение методов и типичные ловушки

Учителю: при проверке 13-го упражнения допустимы алгебраически эквивалентные формы, но если требуется именно понижение степени, в окончательном ответе не должно оставаться sin²x или cos²2x. Следите, чтобы учащиеся не путали угол x с двойным углом 2x.

Подробное доказательство формулы для четвёртой степени

Поскольку sin²x=(1−cos2x)/2, получаем sin⁴x=(1−2cos2x+cos²2x)/4. Второй квадрат тоже нужно преобразовать: cos²2x=(1+cos4x)/2. После приведения к знаменателю 8 получаем sin⁴x=(3−4cos2x+cos4x)/8. Это выражение не содержит ни квадратов, ни четвёртых степеней тригонометрических функций. При x=0° обе стороны равны 0; при x=90° левая часть 1, а правая (3−4·(−1)+1)/8=1. Два контрольных значения подтверждают отсутствие очевидной ошибки знака, хотя сами по себе не заменяют доказательство тождества.

Проверка точных значений без калькулятора

При x=75° удвоенный угол равен 150°: cos150°=−√3/2, поэтому sin²75°=(2+√3)/4. При x=15° получается противоположный знак у радикала, потому что cos30° положителен. Обе дроби принадлежат промежутку [0;1]. Аналогично при x=22,5° и x=67,5° удвоенный угол принимает табличные значения 45° и 135°. Если подставить вместо 2x угол x, результат будет неверным даже при правильных действиях с дробями.

Полезная контрольная оценка: sin²15° существенно меньше 1/2, поскольку sin15° меньше sin45°; sin²75° существенно больше 1/2. Тем самым знак перед радикалом можно проверить не только формулой, но и расположением углов в первой четверти.