Формула тангенса суммы двух углов: пошаговые задания для 10 класса

Формула тангенса суммы и условия её применения

Если tgA и tgB определены и 1−tgA·tgB ≠ 0, то tg(A+B)=(tgA+tgB)/(1−tgA·tgB). Это формула суммы двух углов. Особенность — знаменатель: даже когда оба тангенса существуют, тангенс суммы может быть не определён (например, при A=B=45°). Нельзя без проверки делить на нуль.

Первый алгоритм: проверьте существование tgA и tgB; второй шаг — вычислите числитель и знаменатель; третий — разделите; четвёртый — убедитесь, что знаменатель не равен нулю, и при угловых данных проверьте результат по положению суммы на окружности.

Разобранные образцы

1. Образец А. tgA=1/2, tgB=1/3: числитель 5/6, знаменатель 5/6, поэтому tg(A+B)=1.
2. Образец Б. tgA=−1, tgB=1/2: получаем (−1/2)/(3/2)=−1/3.
3. Образец В. tgA=tgB=1: в знаменателе 1−1=0. Тангенс суммы не определён; значение нельзя записывать как бесконечность.

Проверочная работа. Базовый уровень: №1–10

1. При tgA=1/3 и tgB=1/4 найдите tg(A+B).
2. При tgA=−1/2, tgB=1/3 найдите tg(A+B).
3. При tgA=2, tgB=1/4 найдите tg(A+B).
4. При tgA=2/3, tgB=3/4 найдите tg(A+B).
5. При tgA=2, tgB=−1/2 найдите tg(A+B).
6. При tgA=−2, tgB=1/2 найдите tg(A+B).
7. При tgA=0 и tgB=3/5 найдите tg(A+B).
8. При tgA=3/5 и tgB=−3/5 найдите tg(A+B).
9. При tgA=tgB=1 определён ли tg(A+B)?
10. При tgA=1/2 и tgB=2 можно ли вычислить tg(A+B)?

Повышенный уровень: №11–18

11. Найдите tg(30°+45°).
12. Найдите tg(15°+30°).
13. Найдите tg(60°−30°).
14. Определён ли tg(45°+45°)?
15. Определён ли tg(30°+60°)?
16. Найдите tgB, если tg(A+B)=1 и tgA=1/2, причём все тангенсы определены.
17. При tgA=3 и tgB=−1/3 найдите tg(A+B).
18. Ученик пишет: «tg(90°+45°) нельзя вычислить, потому что tg90° не существует». Объясните ошибку и найдите tg суммы.

Критерии самостоятельной оценки

Максимум 21 балл: задания 1–15 дают 15, задания 16–18 — ещё 6. Проверяющий оценивает причину запрета деления на нуль отдельно от численного ответа. В №18 важно отличать несуществование отдельного tgA от существования tg(A+B).

Полный ключ решений

1. 7/11: (1/3+1/4)/(1−1/12)=(7/12)/(11/12).
2. −1/7: (−1/2+1/3)/(1+1/6)=(−1/6)/(7/6).
3. 9/2: (2+1/4)/(1−1/2)=(9/4)/(1/2).
4. 17/6: (2/3+3/4)/(1−1/2)=(17/12)/(1/2).
5. 3/4: (2−1/2)/(1+1)=(3/2)/2.
6. −3/4: (−2+1/2)/(1+1)=(−3/2)/2.
7. 3/5: (0+3/5)/(1−0).
8. 0: числитель равен нулю, знаменатель 1+9/25≠0.
9. Нет: 1−1·1=0, поэтому tg(A+B) не определён.
10. Нет: 1−(1/2)·2=0. Нельзя делить на нуль.
11. 2+√3: это tg75°, например (1/√3+1)/(1−1/√3).
12. 1: 15°+30°=45°, tg45°=1.
13. √3/3: 60°−30°=30°.
14. Не определён: сумма 90°, cos90°=0.
15. Не определён: сумма 90°, cos90°=0.
16. 1/3: решите (1/2+b)/(1−b/2)=1, получив 1/2+b=1−b/2.
17. 4/3: (3−1/3)/(1+1)=(8/3)/2=4/3; противоположные тангенсы должны были быть 3 и −3, а не −1/3.
18. Ошибка — формулу суммы здесь применять нельзя, но сам tg135° существует и равен −1.

Разбор типичной ошибки

Неверно рассуждать так: «tgA·tgB=1, значит tg(A+B)=0». Верный вывод — знаменатель формулы равен нулю, а тангенс суммы не определён при существовании tgA и tgB. Обратная ловушка: даже если tgA не существует, значение tg(A+B) может существовать — см. упражнение 18. Во всех остальных заданиях угол суммы дан либо через два конечных тангенса с ненулевым знаменателем, либо через явно обозначенные градусы.