Параллельность прямой и плоскости через параллельную прямую: примеры и объяснения для 10 класса
Содержание статьи8 разделов
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая a не лежит в плоскости α и параллельна некоторой прямой b этой плоскости, то a∥α. Это означает, что a и α не имеют общих точек. Условие «a не лежит в плоскости» обязательно: прямая может быть параллельна другой прямой в той же плоскости, но при этом целиком принадлежать ей.
При работе с перспективным рисунком можно ошибочно принять пересекающиеся рёбра за параллельные. Опирайтесь на геометрию граней куба: противоположные грани параллельны, соответствующие рёбра и диагонали параллельны. Записи (ABCD) и (A₁B₁C₁D₁) обозначают плоскости граней, а не только четырёхугольники.
Таблица построения доказательства
| Шаг | Вопрос к рисунку | Что фиксируем |
|---|---|---|
| 1 | Входит ли вся прямая a в плоскость α? | Если да, нельзя называть a∥α в смысле отсутствия общих точек. |
| 2 | Есть ли у a общая точка с α? | Если есть, a пересекает α и признак неприменим. |
| 3 | Можно ли предъявить b⊂α параллельную a? | Нужно назвать конкретную прямую b и пояснить параллельность. |
| 4 | Проверены ли шаги 1–3? | Только тогда выводим a∥α. |
Образец — почему одного похожего наклона недостаточно
Рассмотрим диагональ верхней грани A₁C₁ и плоскость основания (ABCD). В основании расположена диагональ AC, причём A₁C₁∥AC как соответствующие диагонали параллельных граней. A₁C₁ не имеет общих точек с основанием. Следовательно, по признаку A₁C₁∥(ABCD). А для AA₁ тот же вывод ложен: у AA₁ общая точка A с основанием.
Рабочая таблица: найдите подтверждающую прямую или точку пересечения
В каждой строке решите, параллельны ли указанная прямая и плоскость. Если да — назовите прямую внутри плоскости, параллельную данной; если нет — уточните, прямая пересекает плоскость или содержится в ней. Обозначения нижней грани A B C D и верхней A₁ B₁ C₁ D₁ одинаковы во всех задачах.
| № | Прямая и плоскость | Ваш вывод |
|---|---|---|
| 1 | A₁B₁ и (ABCD) | ________________ |
| 2 | A₁C₁ и (ABCD) | ________________ |
| 3 | AA₁ и (ABCD) | ________________ |
| 4 | AB и (ABCD) | ________________ |
| 5 | B₁C₁ и (ABCD) | ________________ |
| 6 | B₁C и (ADD₁A₁) | ________________ |
| 7 | AB и (DCC₁D₁) | ________________ |
| 8 | A₁D и (BCC₁B₁) | ________________ |
| 9 | AD и (ABB₁A₁) | ________________ |
| 10 | A₁B₁ и (ABB₁A₁) | ________________ |
| 11 | AD и (BCC₁B₁) | ________________ |
| 12 | A₁C и (ABCD) | ________________ |
| 13 | AB и (A₁B₁C₁D₁) | ________________ |
| 14 | AC и (A₁B₁C₁D₁) | ________________ |
| 15 | A₁B и (DCC₁D₁) | ________________ |
| 16 | DC и (ABB₁A₁) | ________________ |
Ответы и объяснения по каждой строке
- Да: A₁B₁∥AB, AB лежит в нижней грани, A₁B₁ не лежит в нижней грани.
- Да: A₁C₁∥AC; AC⊂(ABCD), а диагональ A₁C₁ в верхней грани.
- Нет: AA₁ пересекает основание в точке A.
- Нет в строгом смысле: AB лежит в самой плоскости, а не вне её.
- Да: B₁C₁∥BC, прямая BC лежит в основании.
- Да: B₁C∥A₁D, причём A₁D⊂(ADD₁A₁), а прямая B₁C находится на противоположной грани.
- Да: AB∥DC; DC лежит в задней грани, а AB в передней.
- Да: A₁D∥B₁C; B₁C лежит в правой грани, A₁D — в левой.
- Нет: AD пересекает переднюю грань в A.
- Нет: A₁B₁ целиком лежит в передней грани.
- Да: AD∥BC, а BC лежит в правой грани, AD — в левой.
- Нет: наклонный отрезок проходит через C в основании.
- Да: AB∥A₁B₁; верхняя и нижняя грани различны.
- Да: AC∥A₁C₁, верхняя грань не содержит AC.
- Да: A₁B∥D₁C, а D₁C лежит в задней грани.
- Да: DC∥AB, DC находится на задней, AB — на передней грани.
Как доказать параллельность без вычислений
Возьмём куб с нижней гранью z=0 и верхней z=1. Линия A₁B₁ имеет направление вдоль ребра AB, которое лежит в z=0, и сама полностью находится в z=1. Значит, ни одна её точка не принадлежит нижней плоскости. Напротив, вертикальное ребро AA₁ содержит A с высотой z=0, поэтому пересекает основание. Такой координатный смысл не требуется записывать в каждом доказательстве, но он помогает проверить, не спутаны ли пересечение и параллельность.
Похожая ситуация возникает с наклонной B₁C: она не горизонтальна на рисунке, однако параллельна левой боковой грани (ADD₁A₁), поскольку B₁C∥A₁D. Это показывает, что прямая может идти наклонно относительно листа и всё равно быть параллельной плоскости. Сравнивают пространственное направление, а не угол штриха к краю страницы.
Две ловушки и их исправление
Ловушка 1: «AB∥(ABCD), ведь AB параллельна другой стороне». Это неверно: AB принадлежит основанию. Признак требует, чтобы прямая была вне плоскости. К примеру, AB∥(A₁B₁C₁D₁) — верно: AB не лежит в верхней грани и параллельна находящейся там A₁B₁.
Ловушка 2: «AD∥(ABB₁A₁), потому что на рисунке направление совпадает с ребром другой грани». AD проходит через A — общую точку с передней гранью. Поэтому не может быть параллельна этой плоскости. Здесь легче всего опровергнуть вывод, указав точку пересечения.
Короткий итог для учителя
В проверяемом решении должно быть указано не только «параллельно», но и основание: a∥b, b⊂α, a⊄α ⇒ a∥α. Если прямые совпадают или лежат в одной плоскости, пользоваться формулой без проверки нельзя. Хорошее доказательство не зависит от того, как повернули рисунок куба.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.