Признак параллельности двух плоскостей в многограннике: задачи и решения для 10 класса

Геометрический признак: два направления внутри каждой плоскости

Чтобы доказать параллельность двух различных плоскостей α и β, найдите две пересекающиеся прямые a и b в α и две пересекающиеся прямые c и d в β так, чтобы a∥c и b∥d. Тогда плоскости параллельны. В короткой записи: a,b⊂α; c,d⊂β; a∩b и c∩d существуют; a∥c, b∥d ⇒ α∥β (при α≠β).

Одной пары параллельных прямых недостаточно: две пересекающиеся плоскости тоже могут содержать параллельные прямые. Ещё одна ошибка — называть параллельными две совпадающие грани, заданные разными тройками вершин.

Алгоритм доказательства на многограннике

1. Назовите две сравниваемые плоскости и убедитесь, что они различны.
2. Возьмите в первой плоскости две пересекающиеся прямые, например два ребра из одной вершины.
3. Найдите во второй плоскости две соответствующие пересекающиеся прямые.
4. Обоснуйте две параллельности (по свойству параллелограмма, средней линии треугольника или гомотетии).
5. Сделайте вывод по признаку. Если найдена общая прямая или точка, вывод о параллельности невозможен.

Уровень A. Прочитать грани куба

1. В кубе сравните основания (ABCD) и (A₁B₁C₁D₁).
2. В кубе сравните переднюю грань (ABB₁A₁) и заднюю (DCC₁D₁).
3. Сравните левую грань (ADD₁A₁) и правую (BCC₁B₁).
4. Верно ли, что (ABCD)∥(ABB₁A₁)?
5. Верно ли, что (ABCD)∥(BCC₁B₁)?
6. Достаточно ли только равенства направлений AB∥A₁B₁ для доказательства параллельности оснований куба?
7. Сравните плоскости (ABC) и (A₁B₁C₁).
8. Сравните плоскости (ABD) и (A₁B₁D₁).
9. Являются ли (ABC) и (ABC₁) параллельными?

Уровень Б. Проверить условие и контрпример

10. Чем отличаются (ABD) и (BCD) как плоскости?
11. Сравните верхнюю грань (A₁B₁D₁) и плоскость (ABC₁).
12. В тетраэдре PABC точки M, N, K — середины PA, PB, PC. Докажите (MNK)∥(ABC).
13. В тетраэдре PABC точки M и N — середины PA и PB, K лежит на PC, но PK/PC=1/3. Параллельна ли (MNK) основанию?
14. В тетраэдре PABC точки M,N,K расположены на PA,PB,PC так, что PM/PA=PN/PB=PK/PC=1/3. Параллельна ли (MNK) основанию?
15. В тетраэдре известно только MN∥AB, где M∈PA и N∈PB. Можно ли заключить, что произвольная плоскость через MN параллельна (ABC)?

Уровень В. Строить доказательства

16. Какие две пересекающиеся линии внутри (ABCD) удобно взять для доказательства параллельности верхней грани?
17. Утверждают, что AB∥A₁B₁ и AB∥D₁C₁ уже доказывают параллельность двух плоскостей. Где ошибка?
18. M,N,K — середины рёбер AA₁, BB₁, CC₁ куба. Параллельна ли (MNK) нижнему основанию?

Критерии самопроверки

Для каждой задачи достаточно короткого обоснования с необходимыми пунктами. В задачах о тетраэдре не надо угадывать ответ по рисунку: используйте равенство отношений на рёбрах, выходящих из вершины P.

Полные ответы с объяснением

1. Параллельны: AB∥A₁B₁, AD∥A₁D₁; в каждой грани две выбранные прямые пересекаются в A и A₁.
2. Параллельны: AB∥DC и AA₁∥DD₁, причём прямые каждой пары лежат в своей грани.
3. Параллельны: AD∥BC и AA₁∥BB₁ — две пересекающиеся линии в каждой грани.
4. Нет: плоскости пересекаются по общей прямой AB.
5. Нет: общая прямая BC, поэтому они пересекаются.
6. Нет: одного совпадающего направления недостаточно для признака; нужна вторая пара пересекающихся прямых, например AD∥A₁D₁. Сам факт параллельности этих граней при этом верен.
7. Да, параллельны: это плоскости нижней и верхней граней; AB∥A₁B₁ и BC∥B₁C₁.
8. Да: две соответствующие пересекающиеся прямые AB и AD параллельны A₁B₁ и A₁D₁.
9. Нет: обе содержат прямую AB и не совпадают, значит пересекаются по AB.
10. Это одна и та же плоскость основания (ABCD); они совпадают, а не являются различными параллельными плоскостями.
11. Не параллельны: точка C₁ принадлежит обеим плоскостям; при этом сами плоскости различны.
12. По теореме о средней линии в треугольниках PAB и PAC имеем MN∥AB и MK∥AC. В обеих плоскостях эти пары прямых пересекаются (в M и A); плоскости различны, значит параллельны.
13. Нет: MN∥AB, но MK не параллельна AC, потому что PM/PA=1/2, а PK/PC=1/3. Если бы плоскости были параллельны, соответствующие доли на лучах PA,PB,PC совпали бы.
14. Да: PM/PA=PN/PB=PK/PC=1/3; MN∥AB и MK∥AC по обратной теореме Фалеса. Две пересекающиеся прямые дают нужный признак.
15. Нет: через MN проходят разные плоскости, в том числе пересекающие основание. Одной пары параллельных прямых недостаточно.
16. Например, AB и AD (пересекаются в A). Их пары наверху A₁B₁ и A₁D₁ пересекаются в A₁ и соответственно параллельны им.
17. Обе пары задают одно направление AB. Нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости; две прямые A₁B₁ и D₁C₁ тоже параллельны, а не пересекаются.
18. Да: точки имеют одинаковую долю высоты (1/2). MN∥AB и MK∥AC, прямые MN и MK пересекаются в M, а AB и AC — в A; (MNK)∥(ABCD).

Разбор ключевых пограничных случаев

Почему задача 6 не решается одной параллельной парой? Прямая AB∥A₁B₁ действительно подтверждается устройством куба, но сама по себе не запрещает плоскостям пересекаться. Добавьте AD∥A₁D₁ и пересечение обеих пар. Аналогично в №17 две прямые второго семейства параллельны друг другу, поэтому они не образуют нужную пересекающуюся пару.

Почему середины важны? Если в тетраэдре три отрезка от вершины P имеют одну и ту же долю полной длины, плоскость через их концы является образом основания при гомотетии с центром P. При разных долях (задача 13) этот вывод неверен. Это можно доказать, сравнив отрезки в треугольнике PAC.

Как распознать совпадающие плоскости? Тройки A,B,D и B,C,D лежат в одной нижней грани куба и определяют одну плоскость; записи разные, геометрическое место одно. Параллельность двух плоскостей по школьному определению предполагает отсутствие общих точек, чего здесь нет.