Сечение куба плоскостью через три заданные точки — практикум с ответами для 10 класса

10 класс. Тематический тренажёр на построение сечений куба плоскостью через три заданные точки. Все точки заданы координатами — это точный заменитель чертежа, удобный для распечатки.

Короткая памятка: три точки и грани куба

Куб зададим неравенствами 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1. Оси направлены вдоль трёх взаимно перпендикулярных рёбер, ребро — 1 единица длины. Например, (1;0;0) — вершина, а (1/2;0;0) — середина ребра. Три неколлинеарные точки задают единственную плоскость. Чтобы построить сечение, найдите все пересечения плоскости с рёбрами куба, а затем соедините их на соответствующих гранях в порядке обхода. Не соединяйте диагоналями точки, которые не принадлежат одной грани.

Для проверки можно использовать уравнение плоскости вида px+qy+rz=d. Подстановка координат показывает, принадлежит ли точка плоскости; пересечение с ребром получают, фиксируя две координаты равными 0 или 1 и решая линейное уравнение по третьей.

Разобранный пример

Точки (1/2;0;0), (0;1/2;0), (0;0;1/2) лежат на плоскости x+y+z=1/2. Внутри куба она пересекает только три рёбра из начала координат, поэтому сечение — треугольник. Его стороны лежат в трёх координатных гранях.

Серия I. Треугольники и четырехугольники

1. Построй сечение через точки (1/2; 0; 0), (0; 1/2; 0), (0; 0; 1/2). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
2. Построй сечение через точки (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
3. Построй сечение через точки (1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
4. Построй сечение через точки (1; 1; 1/2), (1/2; 1; 1), (1; 1/2; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
5. Построй сечение через точки (1/2; 0; 0), (0; 1/2; 0), (0; 1/2; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
6. Построй сечение через точки (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 1; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.

Серия II. Сечения через середины и доли рёбер

Задачи 7–12 содержат параллельные одной из осей плоскости. На координатном рисунке две противоположные стороны соответствующего четырёхугольника идут вдоль этой оси. Проверяйте, что третья исходная точка не лежит на прямой через первые две.

7. Построй сечение через точки (1; 1/2; 0), (1/2; 1; 0), (1/2; 1; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
8. Построй сечение через точки (1/2; 0; 0), (1/2; 1; 0), (0; 1; 1/2). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
9. Построй сечение через точки (1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; 1; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
10. Построй сечение через точки (1; 0; 1/2), (1; 1; 1/2), (1/2; 1; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
11. Построй сечение через точки (0; 0; 1/2), (1; 0; 1/2), (1; 1/2; 0). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
12. Построй сечение через точки (0; 0; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.

Серия III. Наклонные плоскости и смешанные сечения

В задачах 13–18 полезно не угадывать фигуру на глаз, а выписать пересечения со всеми 12 рёбрами. Если пересечение приходится на вершину куба, она учитывается только один раз, хотя принадлежит сразу трём рёбрам.

13. Построй сечение через точки (0; 1/2; 1), (1; 1/2; 1), (1; 1; 1/2). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
14. Построй сечение через точки (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1/2). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
15. Построй сечение через точки (1; 0; 1/4), (1; 1/2; 0), (1/2; 1; 0). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
16. Построй сечение через точки (1; 0; 1/2), (1; 1; 0), (0; 1; 1/2). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
17. Построй сечение через точки (1; 0; 3/4), (1; 1; 1/4), (0; 1; 3/4). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.
18. Построй сечение через точки (1; 0; 1), (1; 1; 1/2), (0; 1; 1). Сколько у него вершин? Выпиши вершины в порядке обхода. Затем проверь своё построение уравнением плоскости.

Полный ключ ответов

В ключе указаны уравнение плоскости, тип многоугольника и координаты всех вершин в циклическом порядке. Обратный порядок обхода также правильный.

1. Плоскость x+y+z=1/2; треугольник (3 вершины). Один возможный циклический порядок: (1/2; 0; 0), (0; 1/2; 0), (0; 0; 1/2). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
2. Плоскость x+y+z=1; треугольник (3 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
3. Плоскость x+y+z=2; треугольник (3 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
4. Плоскость x+y+z=5/2; треугольник (3 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 1; 1/2), (1/2; 1; 1), (1; 1/2; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
5. Плоскость x+y=1/2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1/2; 0; 0), (0; 1/2; 0), (0; 1/2; 1), (1/2; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
6. Плоскость x+y=1; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.

Серия II

7. Плоскость x+y=3/2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 1/2; 0), (1/2; 1; 0), (1/2; 1; 1), (1; 1/2; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
8. Плоскость x+z=1/2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1/2; 0; 0), (1/2; 1; 0), (0; 1; 1/2), (0; 0; 1/2). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
9. Плоскость x+z=1; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; 1; 1), (0; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
10. Плоскость x+z=3/2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 1/2), (1; 1; 1/2), (1/2; 1; 1), (1/2; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
11. Плоскость y+z=1/2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (0; 0; 1/2), (1; 0; 1/2), (1; 1/2; 0), (0; 1/2; 0). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
12. Плоскость y+z=1; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (0; 0; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0), (0; 1; 0). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.

Серия III

13. Плоскость y+z=3/2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (0; 1/2; 1), (1; 1/2; 1), (1; 1; 1/2), (0; 1; 1/2). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
14. Плоскость x+y+2z=1; треугольник (3 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1/2). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
15. Плоскость x+y+2z=3/2; пятиугольник (5 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 1/4), (1; 1/2; 0), (1/2; 1; 0), (0; 1; 1/4), (0; 0; 3/4). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
16. Плоскость x+y+2z=2; четырёхугольник (4 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 1/2), (1; 1; 0), (0; 1; 1/2), (0; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
17. Плоскость x+y+2z=5/2; пятиугольник (5 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 3/4), (1; 1; 1/4), (0; 1; 3/4), (0; 1/2; 1), (1/2; 0; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.
18. Плоскость x+y+2z=3; треугольник (3 вершины). Один возможный циклический порядок: (1; 0; 1), (1; 1; 1/2), (0; 1; 1). Каждая указанная точка лежит одновременно на ребре куба и на плоскости.

Как доказать правильность сечения

1. Проверить, что каждая исходная точка удовлетворяет уравнению найденной плоскости; три точки не должны лежать на одной прямой.
2. На каждом ребре куба проверить линейное уравнение при двух фиксированных координатах. Включить решения от 0 до 1 и исключить остальные.
3. Упорядочить точки вдоль границы сечения, соединяя на гранях; оценить число сторон — у куба плоское невырожденное сечение имеет от 3 до 6 сторон.
4. Убедиться, что построение не оставляет «открытых» концов и не использует внутренние диагонали многоугольника как его стороны.

Здесь приведены координатные, а не перспективные чертежи. Рисунок может выглядеть иначе при другом угле обзора куба, но множество вершин, принадлежность плоскости и тип сечения не меняются.