Сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью: пошаговые задания для 10 класса

10 класс. Практика пошагового построения сечений прямоугольного параллелепипеда, включая случаи, когда сечение проходит параллельно грани и когда наклонная плоскость пересекает четыре либо три ребра.

Исходная геометрическая модель

Возьмём параллелепипед 0≤x≤a, 0≤y≤b, 0≤z≤h, где a, b, h — длины рёбер в сантиметрах. Сечение — пересечение всей фигуры с плоскостью, а не просто след на одной грани.

Задача-пример: сечение x/a+y/b=1

Плоскость не зависит от z. В нижнем основании она проходит через (a;0;0) и (0;b;0), в верхнем — через (a;0;h) и (0;b;h). Сечение — прямоугольник с длинами сторон √(a²+b²) и h. Поэтому P=2(√(a²+b²)+h), S=h√(a²+b²).

Два пути решения

• Геометрический: проведите диагональ нижнего основания, параллельную ей диагональ верхнего и два вертикальных отрезка.
• Координатный: фиксируйте по две координаты рёбер и проверяйте уравнение плоскости; оставьте только точки внутри отрезков.

Задачи для построения: базовый уровень

1. Размеры a=6, b=8, h=5 см. Построй сечение плоскостью x=3; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
2. Размеры a=8, b=10, h=7 см. Построй сечение плоскостью y=5/2; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
3. Размеры a=7, b=9, h=6 см. Построй сечение плоскостью z=4; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
4. Размеры a=10, b=12, h=8 см. Построй сечение плоскостью x=6; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
5. Размеры a=9, b=6, h=8 см. Построй сечение плоскостью y=4; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
6. Размеры a=12, b=5, h=4 см. Построй сечение плоскостью z=3; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.

Наклонные сечения: уровень II

В заданиях 7–12 плоскость не совпадает с гранью. Используйте способ двух параллельных следов: найдите линию в передней и задней или нижней и верхней грани, затем соедините соответствующие точки. Проверяйте, что линии действительно лежат в одной плоскости.

7. Размеры a=6, b=8, h=5 см. Построй сечение плоскостью x/6+y/8=1; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
8. Размеры a=5, b=12, h=7 см. Построй сечение плоскостью x/5+y/12=1; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
9. Размеры a=9, b=12, h=6 см. Построй сечение плоскостью x/9+z/6=1; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
10. Размеры a=8, b=6, h=15 см. Построй сечение плоскостью x/8+z/15=1; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
11. Размеры a=5, b=12, h=9 см. Построй сечение плоскостью y/12+z/9=1; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.
12. Размеры a=7, b=24, h=10 см. Построй сечение плоскостью y/24+z/10=1; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.

Особые случаи: уровень III

У плоскости с тремя положительными коэффициентами в уравнении может получиться треугольное сечение около вершины. Если одна координата точки пересечения выходит за допустимый диапазон, такую точку нужно исключить.

13. Размеры a=3, b=4, h=5 см. Построй сечение плоскостью x/3+y/4+z/5=1; установи тип многоугольника и найди его периметр; укажи три длины сторон.
14. Размеры a=4, b=6, h=9 см. Построй сечение плоскостью x/4+y/6+z/9=1; установи тип многоугольника и найди его периметр; укажи три длины сторон.
15. Размеры a=6, b=8, h=10 см. Построй сечение плоскостью x=2; установи тип многоугольника и найди его периметр и площадь.

Ответы с проверкой

1. прямоугольник: стороны 8 и 5 см; P=26 см, S=40 см². Обоснование: грани y=0, y=8 и z=0, z=5 дают четыре вершины при x=3.
2. прямоугольник: стороны 8 и 7 см; P=30 см, S=56 см². Обоснование: все точки с y=5/2, где x∈[0;8], z∈[0;7].
3. прямоугольник: стороны 7 и 9 см; P=32 см, S=63 см². Обоснование: сечение параллельно основанию и находится на высоте 4 см.
4. прямоугольник: стороны 12 и 8 см; P=40 см, S=96 см². Обоснование: грани y=0, y=12 и z=0, z=8 дают четыре вершины при x=6.
5. прямоугольник: стороны 9 и 8 см; P=34 см, S=72 см². Обоснование: все точки с y=4, где x∈[0;9], z∈[0;8].
6. прямоугольник: стороны 12 и 5 см; P=34 см, S=60 см². Обоснование: сечение параллельно основанию и находится на высоте 3 см.

Проверка наклонных плоскостей

7. прямоугольник: стороны 10 и 5 см; P=30 см, S=50 см². Обоснование: два противоположных ребра — диагонали оснований, два других — боковые вертикальные отрезки.
8. прямоугольник: стороны 13 и 7 см; P=40 см, S=91 см². Обоснование: два противоположных ребра — диагонали оснований, два других — боковые вертикальные отрезки.
9. прямоугольник: стороны √117 и 12 см; P=2(√117+12) см, S=12√117 см². Обоснование: сечение параллельно оси y, его наклонное ребро соединяет (a;0;0) и (0;0;h).
10. прямоугольник: стороны 17 и 6 см; P=46 см, S=102 см². Обоснование: сечение параллельно оси y, его наклонное ребро соединяет (a;0;0) и (0;0;h).
11. прямоугольник: стороны 15 и 5 см; P=40 см, S=75 см². Обоснование: сечение параллельно оси x, его наклонное ребро соединяет (0;b;0) и (0;0;h).
12. прямоугольник: стороны 26 и 7 см; P=66 см, S=182 см². Обоснование: сечение параллельно оси x, его наклонное ребро соединяет (0;b;0) и (0;0;h).

Проверка особых случаев

13. треугольник: стороны √(25), √(34), √(41) см (по теореме Пифагора). Обоснование: вершины (3;0;0), (0;4;0), (0;0;5), каждая принадлежит одному из трёх рёбер от начала координат.
14. треугольник: стороны √(52), √(97), √(117) см (по теореме Пифагора). Обоснование: вершины (4;0;0), (0;6;0), (0;0;9), каждая принадлежит одному из трёх рёбер от начала координат.
15. прямоугольник: стороны 8 и 10 см; P=36 см, S=80 см². Обоснование: грани y=0, y=8 и z=0, z=10 дают четыре вершины при x=2.

Пошаговая проверка на конкретном наклонном сечении

Рассмотрим параллелепипед 6×8×5 см и плоскость x/6+y/8=1. Её пересечение с нижней гранью z=0 — отрезок от (6;0;0) до (0;8;0) длиной √(6²+8²)=10 см. В верхней грани z=5 проходит равный и параллельный отрезок между (6;0;5) и (0;8;5). Промежуточные боковые отрезки соединяют точки с одинаковыми x и y; их длина 5 см. Это прямоугольник 10×5 см, периметр 30 см и площадь 50 см². Так геометрическая конструкция даёт тот же ответ, что уравнение.

В другом случае, x/3+y/4+z/5=1 для размеров 3×4×5 см, плоскость пересекает только три рёбра из вершины (0;0;0) в точках (3;0;0), (0;4;0), (0;0;5). Сечение треугольное, хотя параллелепипед имеет прямоугольные грани. Утверждение «любое сечение прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник» неверно.

Пять ловушек при построении

• Диагональ грани не является диагональю всего сечения автоматически; сначала проверяют принадлежность обеих точек одной плоскости.
• Не продолжайте рёбра параллелепипеда за их концы, даже если бесконечная плоскость пересекает продолженную прямую.
• Для наклонных сечений длина диагонали основания вычисляется по Пифагору, а не как a+b.
• Площадь каждого прямоугольного сечения — произведение двух его сторон, а не объём параллелепипеда.
• Результат периметра выражается в сантиметрах, площади — в квадратных сантиметрах.

Проверка плоскости: для каждой найденной вершины подставьте x, y, z в уравнение и убедитесь, что 0≤x≤a, 0≤y≤b, 0≤z≤h. Этого вместе с обходом граней достаточно для координатного построения.