Сечение треугольной призмы плоскостью параллельной основанию — задания на закрепление, 10 класс

10 класс. Серия на построение сечения треугольной призмы плоскостью, параллельной основанию, с вычислением площади, периметра и положения секущей плоскости.

Содержание статьи9 разделов

Схема и главная закономерность

Рассмотрим прямую треугольную призму ABC–A₁B₁C₁ высоты h. Плоскость, параллельная основаниям ABC и A₁B₁C₁ и проходящая внутри призмы, пересекает AA₁, BB₁, CC₁ в точках M, N, K. Треугольник MNK равен треугольнику ABC по форме и размерам, а не просто подобен: MN=AB, NK=BC, KM=CA, S(MNK)=S(ABC).

Если точка M делит боковое ребро в отношении AM/AA₁=t, где 0

Пример: прямоугольное основание

Пусть AB=6, AC=8, BC=10 см, AB⊥AC, высота призмы 12 см, AM/AA₁=1/4. Площадь сечения 6·8/2=24 см², периметр 6+8+10=24 см; плоскость находится на высоте 12/4=3 см. Не надо умножать площадь на (1/4)²: это была бы формула для параллельного сечения пирамиды, а не призмы.

Данные для задач с таблицей

№ Стороны основания, см (первые две — катеты) h, см t=AM/AA₁
1 3, 4, 5 8 1/4
2 5, 12, 13 10 3/5
3 8, 15, 17 12 1/2
4 7, 24, 25 15 2/3
5 9, 12, 15 20 3/4
6 6, 8, 10 14 1/7
7 12, 16, 20 18 5/6
8 10, 24, 26 21 1/3
9 15, 20, 25 16 3/8
10 20, 21, 29 24 5/8
11 9, 40, 41 30 4/5
12 11, 60, 61 22 1/2

Вычислительные задания 1–12

По каждой строке таблицы: (а) построй сечение; (б) вычисли периметр и площадь сечения; (в) определи перпендикулярное расстояние от основания до сечения. Укажи, на какой доле каждого бокового ребра лежат три вершины сечения. Это 12 самостоятельных комплектов на разные исходные данные.

Объясни, найди ошибку, докажи — задания 13–16

  1. В прямой треугольной призме сечение параллельно основанию на расстоянии 4 см от него. Высота призмы 10 см. Какая доля каждого бокового ребра отсечена со стороны нижнего основания?
  2. В призме AA₁=18 см, AM=6 см и BN=9 см при BB₁=18 см. Может ли плоскость через M и N быть параллельной основаниям? Объясни.
  3. У призмы основание имеет площадь 30 см², высота 9 см. Ученик делит высоту в отношении 1:2 и считает, что площадь параллельного сечения 10 см². Найди ошибку и правильную площадь.
  4. В наклонной треугольной призме длина бокового ребра 15 см, расстояние между основаниями 12 см. Плоскость проходит через точки на боковых рёбрах на доле 2/5 от нижнего основания. Найди расстояние между плоскостями и длину отрезка вдоль бокового ребра от нижнего основания до сечения.

Полный ключ: расчёт по каждой строке

  1. Сечение — треугольник со сторонами 3, 4, 5 см; P=12 см; S=6 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=8·1/4=2 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=1/4.
  2. Сечение — треугольник со сторонами 5, 12, 13 см; P=30 см; S=30 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=10·3/5=6 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=3/5.
  3. Сечение — треугольник со сторонами 8, 15, 17 см; P=40 см; S=60 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=12·1/2=6 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=1/2.
  4. Сечение — треугольник со сторонами 7, 24, 25 см; P=56 см; S=84 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=15·2/3=10 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=2/3.
  5. Сечение — треугольник со сторонами 9, 12, 15 см; P=36 см; S=54 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=20·3/4=15 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=3/4.
  6. Сечение — треугольник со сторонами 6, 8, 10 см; P=24 см; S=24 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=14·1/7=2 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=1/7.
  7. Сечение — треугольник со сторонами 12, 16, 20 см; P=48 см; S=96 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=18·5/6=15 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=5/6.
  8. Сечение — треугольник со сторонами 10, 24, 26 см; P=60 см; S=120 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=21·1/3=7 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=1/3.
  9. Сечение — треугольник со сторонами 15, 20, 25 см; P=60 см; S=150 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=16·3/8=6 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=3/8.
  10. Сечение — треугольник со сторонами 20, 21, 29 см; P=70 см; S=210 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=24·5/8=15 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=5/8.
  11. Сечение — треугольник со сторонами 9, 40, 41 см; P=90 см; S=180 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=30·4/5=24 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=4/5.
  12. Сечение — треугольник со сторонами 11, 60, 61 см; P=132 см; S=330 см², поскольку основание прямоугольное; расстояние между основанием и плоскостью равно h·t=22·1/2=11 см. Точки на всех трёх боковых рёбрах имеют одинаковую долю t=1/2.

Логические задачи

  1. t=4/10=2/5. На каждом боковом ребре нижний отрезок составляет 2/5 полной длины.
  2. Нет: AM/AA₁=6/18=1/3, BN/BB₁=9/18=1/2. Для параллельного сечения эти доли обязаны совпадать; третья точка такого несоответствия не исправит.
  3. Площадь остаётся 30 см² при любом внутреннем параллельном сечении призмы. Ошибка — применение масштабирования площади, характерного для пирамиды.
  4. Перпендикулярное расстояние 12·2/5=24/5=4,8 см; вдоль бокового ребра 15·2/5=6 см. Значения различны, потому что призма наклонная.

Почему формула не зависит от доли t

Если A и B — вершины нижнего основания, то верхние вершины имеют вид A₁=A+v, B₁=B+v, где v — общий направляющий вектор боковых рёбер. Точки M=A+tv и N=B+tv. Следовательно, вектор MN=(B+tv)−(A+tv)=B−A=AB. Тот же расчёт для пар N,K и K,M доказывает равенство всех сторон и углов, то есть сечение получается параллельным переносом основания. Это работает и в наклонной призме, но там вертикальное расстояние между основаниями меньше длины бокового ребра.

В геометрических задачах легко перепутать три величины: периметр сечения, площадь сечения и объём части призмы под секущей плоскостью. Первые две не зависят от положения параллельного сечения, а объём нижней части, наоборот, пропорционален высоте th: Vниж=Sосн·th. Например, если Sосн=24 см² и h=12 см, то при t=1/4 объём нижней части равен 24·3=72 см³, хотя площадь сечения остаётся 24 см².

Проверка геометрического смысла

  • Треугольник сечения является переводом основания, поэтому все три его стороны и углы равны соответствующим сторонам и углам исходного треугольника.
  • Площадь сечения измеряется в см²; расстояние между плоскостями — в см.
  • При 0
  • Если секущая плоскость не параллельна основанию, применять равенство треугольников без дополнительных доказательств нельзя.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым