Сечение четырёхугольной пирамиды параллельно основанию — рабочий лист для 10 класса

10 класс. Печатная проверочная работа по сечению четырёхугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Базовые и повышенные задания предполагают чертёж с прямыми боковыми рёбрами и точный ответ.

Памятка перед работой

Пусть SABCD — пирамида с четырёхугольным основанием ABCD. Плоскость, параллельная основанию, пересекает SA, SB, SC, SD в точках K, L, M, N. Тогда KLMN подобен ABCD. Если SK/SA=SL/SB=SM/SC=SN/SD=k, 0сеч=kP_осн, S_сеч=k²S_осн. Пирамида над сечением подобна всей пирамиде с коэффициентом k, поэтому отношение объёмов равно k³. Коэффициент отсчитывается от вершины S, а не от основания.

Проверяйте единицы: периметр в сантиметрах, площадь в см², объём — в см³. Если k=1/2, площадь сечения составляет четверть площади основания, а объём отсечённой малой пирамиды — одну восьмую объёма исходной.

Базовый уровень: вычисление сторон и площади

1. Основание пирамиды — прямоугольник 6×4 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=1/2. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
2. Основание пирамиды — прямоугольник 8×5 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=3/4. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
3. Основание пирамиды — прямоугольник 10×6 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=2/5. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
4. Основание пирамиды — прямоугольник 12×7 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=1/3. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
5. Основание пирамиды — прямоугольник 9×8 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=2/3. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
6. Основание пирамиды — прямоугольник 16×3 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=5/8. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
7. Основание пирамиды — прямоугольник 14×9 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=1/2. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.
8. Основание пирамиды — прямоугольник 15×12 см. Плоскость сечения отсекает от вершины долю бокового ребра k=4/5. Найди периметр и площадь сечения; вычисли долю объёма малой пирамиды.

Повышенный уровень: обратные вычисления и доказательство

9. Периметр основания 54 см, периметр параллельного сечения 18 см. Найди k и отношение площадей сечения и основания.
10. Площадь квадрата в основании 144 см², площадь сечения 36 см². Найди k и сторону квадрата сечения.
11. Пирамида имеет высоту 18 см. Плоскость проходит на расстоянии 6 см от вершины по высоте. Определи k, площадь сечения при площади основания 81 см² и долю объёма верхней пирамиды.
12. Плоскость проходит на расстоянии 4 см от основания пирамиды высоты 12 см. Найди k от вершины и долю площади сечения относительно основания.
13. Для квадратной пирамиды стороны основания 10 см, боковое ребро 15 см. Точки сечения расположены на расстоянии 6 см от вершины по боковым рёбрам. Найди сторону, периметр и площадь сечения.
14. Периметр сечения 42 см при k=7/10. Найди периметр основания. Какие сведения ещё нужны для нахождения площади сечения?
15. Две параллельные основанию плоскости пересекают боковое ребро на расстояниях от вершины, составляющих 1/3 и 2/3 всей его длины. Во сколько раз отличаются площади двух сечений?
16. Объём верхней пирамиды равен 1/27 объёма исходной. Найди k и отношение периметров двух оснований (сечения и исходного основания).
17. Пирамида имеет прямоугольное основание 6×10 см. Сечение параллельно основанию и проходит через середины боковых рёбер. Можно ли считать его равным основанию? Вычисли разницу площадей.
18. В условии указано: SK/SA=1/2, SL/SB=2/3, K∈SA, L∈SB. Может ли одна плоскость, параллельная основанию, проходить через обе точки K и L? Объясни.

Критерии самопроверки

Для самостоятельной оценки отмечайте верные решения каждого подпункта; приведённые критерии рассчитаны на самопроверку, а не на обязательное единое число баллов для всех классов.

Полные ответы

1. P основания=2(6+4)=20 см, S основания=6·4=24 см²; P сечения=1/2·20=10 см, S сечения=(1/2)²·24=6 см²; доля объёма=1/8.
2. P основания=2(8+5)=26 см, S основания=8·5=40 см²; P сечения=3/4·26=39/2 см, S сечения=(3/4)²·40=45/2 см²; доля объёма=27/64.
3. P основания=2(10+6)=32 см, S основания=10·6=60 см²; P сечения=2/5·32=64/5 см, S сечения=(2/5)²·60=48/5 см²; доля объёма=8/125.
4. P основания=2(12+7)=38 см, S основания=12·7=84 см²; P сечения=1/3·38=38/3 см, S сечения=(1/3)²·84=28/3 см²; доля объёма=1/27.
5. P основания=2(9+8)=34 см, S основания=9·8=72 см²; P сечения=2/3·34=68/3 см, S сечения=(2/3)²·72=32 см²; доля объёма=8/27.
6. P основания=2(16+3)=38 см, S основания=16·3=48 см²; P сечения=5/8·38=95/4 см, S сечения=(5/8)²·48=75/4 см²; доля объёма=125/512.
7. P основания=2(14+9)=46 см, S основания=14·9=126 см²; P сечения=1/2·46=23 см, S сечения=(1/2)²·126=63/2 см²; доля объёма=1/8.
8. P основания=2(15+12)=54 см, S основания=15·12=180 см²; P сечения=4/5·54=216/5 см, S сечения=(4/5)²·180=576/5 см²; доля объёма=64/125.

Ключ к повышенному уровню

9. k=18/54=1/3; отношение площадей k²=1/9. Уменьшение периметра втрое даёт уменьшение площади в 9 раз.
10. k=√(36/144)=1/2 (берём положительный корень, поскольку k>0). Сторона основания 12 см, сторона сечения 6 см.
11. k=6/18=1/3, S=81/9=9 см², доля объёма k³=1/27.
12. От вершины до секущей плоскости 12−4=8 см, поэтому k=8/12=2/3, отношение площадей 4/9. Ошибка — брать k=4/12.
13. k=6/15=2/5. Сторона сечения 10·2/5=4 см, P=16 см, S=16 см². Длина вдоль бокового ребра, не вертикальная высота, дана корректно.
14. P основания=42/(7/10)=60 см. Одного периметра недостаточно для определения площади произвольного четырёхугольника; нужна площадь основания или иные сведения о его форме и размерах.
15. Отношение коэффициентов 2/3 : 1/3 = 2, отношение площадей 2²=4. Более далёкое от вершины сечение имеет площадь в 4 раза больше.
16. k³=1/27, при 0
17. Нет. Площадь основания 6·10=60 см², площадь среднего сечения 60·(1/2)²=15 см². Разница 45 см². Сечение подобно основанию, но не равно ему.
18. Нет. По теореме о пропорциональных отрезках для сечения, параллельного основанию, доли вдоль всех боковых рёбер от S равны; здесь 1/2≠2/3.

Заключительная проверка

• Каждая задача относится именно к параллельному сечению пирамиды, не призмы.
• При данных 0
• По длине или периметру коэффициент k определяется линейно; по площади — через квадратный корень; по объёму — через кубический корень.
• В ответах к обратным задачам выбирается физически допустимое положительное значение k.