Геометрический смысл отрицательного значения определённого интеграла — тренажёр по математике, 11 класс
Содержание статьи4 раздела
Диагностика: площадь и интеграл — не одно и то же
Если нижний предел меньше верхнего, определённый интеграл складывает площади с учётом знака функции. Участки над осью Ox учитываются со знаком плюс, участки под осью — со знаком минус. Поэтому отрицательный интеграл не означает «отрицательную геометрическую площадь».
Обозначим площадь верхних участков A+, нижних A−. Тогда I = A+ − A−, а полная площадь S = A+ + A−. Здесь обе площади неотрицательны; отрицательным бывает только I. Для перевёрнутых пределов знак интеграла меняется даже при неизменном графике.
12 заданий: выберите, вычислите, объясните
Выполните сначала задания 1–6 без калькулятора. В заданиях 7–12 обязательно записывайте, чему равны верхняя и нижняя площади либо почему они не требуются.
- Для f(x)=−3 на [0; 4] найдите I и площадь между графиком и Ox. Место для решения: ____________________
- Найдите ∫ от 1 до 3 функции x−4 и площадь фигуры. Место для решения: ____________________
- Вычислите ∫ от 3 до 6 функции 2−x; что означает знак? Место для решения: ____________________
- Для f(x)=x на [−3; 1] найдите I, A+ и A−. Место для решения: ____________________
- Для f(x)=x−1 на [0; 3] вычислите I и S. Место для решения: ____________________
- Найдите ∫ от −1 до 2 функции −x². Место для решения: ____________________
- Известно I = −7 и A+ = 5. Определите A− и S. Место для решения: ____________________
- Может ли на [0; 4] интегрируемая функция быть всюду положительной и иметь интеграл −2? Место для решения: ____________________
- Для f(x)=−2 вычислите интеграл от 4 до 1. Место для решения: ____________________
- Пусть f(x)=x−2 на [0; 4]. Вычислите I и S. Место для решения: ____________________
- Известно I = −3 и площадь нижних участков 5. Найдите A+ и S. Место для решения: ____________________
- f(x)=−4 на [0; 1] и f(x)=1 на [1; 3]. Найдите I и S. Место для решения: ____________________
Лист ответов
| № | Проверка и объяснение |
|---|---|
| 1 | I = −12; S = 12. Прямоугольник имеет ширину 4 и высоту 3; весь он под Ox. |
| 2 | I = −4; S = 4. Значения функции −3 и −1; площадь трапеции (3+1)·2/2 = 4. |
| 3 | I = −15/2, S = 15/2. Высоты под осью 1 и 4, ширина 3: (1+4)·3/2. |
| 4 | I = −4; A+ = 1/2; A− = 9/2. Нижний треугольник больше верхнего на 4. |
| 5 | I = 3/2; S = 5/2. Отрицательная часть: 1/2, положительная: 2. |
| 6 | I = −3. Первообразная −x³/3; значение на отрезке: −8/3−1/3. |
| 7 | A− = 12, S = 17: из 5−A− = −7 следует A− = 12. |
| 8 | Нет. При f(x)>0 на всём отрезке длины 4 интеграл неотрицателен; для непрерывной функции он строго положителен. |
| 9 | I = +6: −2·(1−4)=6. Пределы поменялись местами; это не площадь. |
| 10 | I = 0, S = 4. Равные треугольники площадью 2 находятся по разные стороны Ox. |
| 11 | A+ = 2, S = 7. Из A+−5 = −3 получаем A+ = 2. |
| 12 | I = −4 + 2 = −2; S = 4 + 2 = 6. Сложите ориентированные и обычные площади отдельно. |
Три типичные ошибки
- «Интеграл −12, значит площадь −12». Неверно: площадь неотрицательна, поэтому в первом задании она равна 12.
- «Если интеграл равен нулю, фигуры нет». Неверно: в задании 10 площади равны, но их сумма равна 4.
- «Под Ox интеграл всегда отрицателен». Это верно только для обычного порядка пределов a<b; задание 9 демонстрирует смену знака при перестановке границ.
Самопроверка: 1 балл за вычисление, 1 — за правильное объяснение знака (в заданиях 7–12 достаточно полного обоснования). Не путайте значение определённого интеграла и площадь, даже если численно они совпали.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.