Площадь криволинейной трапеции для линейной функции — тренажёр по математике, 11 класс

Содержание статьи6 разделов

Правило: линейная функция образует трапецию или треугольник

Пусть f(x)=kx+b неотрицательна на всём [a;c]. Площадь под графиком на этом интервале равна определённому интегралу S=∫f(x)dx и одновременно площади геометрической трапеции с параллельными сторонами f(a), f(c) и расстоянием между ними c−a: S=[f(a)+f(c)]·(c−a)/2. Если одна высота равна нулю, перед нами треугольник. Если функция пересекает ось внутри интервала, эта формула без разбиения уже НЕ даёт полную площадь.

Шесть неверных решений: найдите и исправьте ошибку

  1. y=2x+1, x∈[0;2]. Ученик записал S=4. Ваше исправление: _______________________
  2. y=5−x, x∈[1;3]. Ученик получил S=3. Ваше исправление: _______________________
  3. y=x+2, x∈[0;4]. Записан ответ S=8. Ваше исправление: _______________________
  4. y=5−x, x∈[0;5]. Записан прямоугольник S=25. Ваше исправление: _______________________
  5. y=3x, x∈[0;3]. Получили S=9/2. Ваше исправление: _______________________
  6. y=x−2, x∈[2;6]. Ученик получил −8. Ваше исправление: _______________________

Исправления и причины

№ Верный разбор
1 Правильно S=(1+5)·2/2=6. Учтите постоянное слагаемое +1: его вклад в интеграл равен 2.
2 Правильно S=(4+2)·2/2=6. Тройка — средняя высота, но ширина равна 2.
3 Правильно S=(2+6)·4/2=16. Найдите высоты на ОБОИХ концах, а не только одну.
4 Правильно S=(5+0)·5/2=25/2. Верхняя сторона убывает до нуля, фигура — треугольник.
5 Правильно S=(0+9)·3/2=27/2. При вычислении площади забыли длину основания 3.
6 Правильно S=(0+4)·4/2=8. При f≥0 площадь неотрицательна; знак минус — ошибка порядка вычитания первообразной.

Самостоятельный тренажёр: ещё 10 фигур

Во всех следующих заданиях f(x)≥0 на заданном промежутке. Сначала вычислите две высоты, затем площадь по формуле трапеции, затем сверьте определённым интегралом. Ответ записывайте в квадратных единицах.

  1. Найдите S для y = 1x+1 на [0;3]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  2. Найдите S для y = 2x на [1;4]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  3. Найдите S для y = -1x+6 на [2;6]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  4. Найдите S для y = 3x+2 на [0;2]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  5. Найдите S для y = -2x+10 на [1;4]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  6. Найдите S для y = 1/2x+1 на [0;6]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  7. Найдите S для y = -1/2x+5 на [2;8]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  8. Найдите S для y = 4x+1 на [0;2]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  9. Найдите S для y = -3x+12 на [1;4]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.
  10. Найдите S для y = 2x-2 на [1;5]. Высоты: ______ и ______, площадь: ______.

Ключ к самостоятельному тренажёру

№ f(a), f(c) Расчёт S
7 1; 4 (1+4)·3/2 = 15/2 кв. ед.
8 2; 8 (2+8)·3/2 = 15 кв. ед.
9 4; 0 (4+0)·4/2 = 8 кв. ед.
10 2; 8 (2+8)·2/2 = 10 кв. ед.
11 8; 2 (8+2)·3/2 = 15 кв. ед.
12 1; 4 (1+4)·6/2 = 15 кв. ед.
13 4; 1 (4+1)·6/2 = 15 кв. ед.
14 1; 9 (1+9)·2/2 = 10 кв. ед.
15 9; 0 (9+0)·3/2 = 27/2 кв. ед.
16 0; 8 (0+8)·4/2 = 16 кв. ед.

Два способа контроля

Геометрическая проверка: площадь не превосходит ширину отрезка, умноженную на наибольшую высоту, и не меньше ширины, умноженной на наименьшую высоту. Интегральная проверка: для f(x)=kx+b первообразная F(x)=kx²/2+bx; вычислите F(c)−F(a). Оба способа должны дать одно и то же неотрицательное число.

Разберите отдельно функцию f(x)=x−1 на [0;2]: она не удовлетворяет условию неотрицательности на всём отрезке. Интеграл равен 0, но площадь двух треугольников равна 1. Этот пример напоминает, почему в текущем тренажёре условие f≥0 нельзя опускать.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым