Вычисление интеграла с заменой линейной переменной — карточки с ответами, 11 класс

Содержание статьи5 разделов

Прикладной кейс: как интеграл становится пройденным путём

По результатам датчика скорость движущейся тележки в промежутке от 0 до 6 секунд описывается законом v(t)=3t+4 (м/с). Поскольку скорость здесь положительна, пройденный путь равен ∫ от 0 до 6 (3t+4)dt. Замена u=3t+4 меняет границы: при t=0 получаем u=4, при t=6 получаем u=22, а dt=du/3. Поэтому путь s=(1/3)·∫ от 4 до 22 u du=(22²−4²)/6=78 м. Проверка без замены: [3t²/2+4t] от 0 до 6 = 54+24=78 м.

t, с 0 2 4 6
v, м/с 4 10 16 22

Второй опыт: расход воды q(t)=2t+5 л/мин в первые 4 минуты. Объём V=∫ от 0 до 4 q(t)dt. По замене u=2t+5 получаем (1/2)∫ от 5 до 13 udu=(13²−5²)/4=36 л. Проверка единиц: (л/мин)·мин = л. Нельзя обозначать 36 л как площадь в м²: физический смысл задаёт модель.

Алгоритм линейной замены переменной

  1. Проверьте, что внутри степени, синуса или дроби стоит линейное выражение u=ax+b с a≠0.
  2. Запишите du=a·dx и dx=du/a. Нельзя забывать множитель 1/a.
  3. Если интеграл определённый, замените оба предела: u(a₀) и u(b₀); при отрицательном a их порядок может смениться.
  4. Возьмите первообразную уже по u, вычтите значения в новых пределах. Если интегранд имеет знаменатель, предварительно проверьте ОДЗ на всем промежутке.

14 карточек — от степеней к логарифму

В карточках 1–12 используются только степени линейной функции. В 13–14 потребуется правило ∫du/u = ln|u|+C и обязательная проверка, что знаменатель не равен нулю между пределами. Запишите замену u, множитель du/a и новые границы.

  1. Вычислите ∫ от 0 до 2 (3·x + 1)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  2. Вычислите ∫ от 1 до 3 (2·x − 1)³ dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  3. Вычислите ∫ от 0 до 4 (x + 2)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  4. Вычислите ∫ от 0 до 2 (5 − 2·x)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  5. Вычислите ∫ от -1 до 1 4·x + 1 dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  6. Вычислите ∫ от 0 до 1 (6·x + 1)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  7. Вычислите ∫ от 0 до 3 2·x + 3 dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  8. Вычислите ∫ от 1 до 2 (3·x − 2)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  9. Вычислите ∫ от 0 до 1 (1 − 4·x)³ dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  10. Вычислите ∫ от 0 до 2 (x − 1)⁴ dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  11. Вычислите ∫ от 0 до 2 (2 − 3·x)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  12. Вычислите ∫ от -1 до 0 (5·x + 4)² dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  13. Вычислите ∫ от 0 до 1 1/(x + 2) dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.
  14. Вычислите ∫ от 0 до 2 1/(2·x + 1) dx. Новая переменная: ______; ответ: ______.

Ответы с заменой и контролем

№ Замена и новые пределы Точный ответ и первообразная
1 u=3x+1; du=3dx; пределы 1→7 F(x) = 3·x³ + 3·x² + x; F(2)−F(0) = 38
2 u=2x−1; du=2dx; пределы 1→5 F(x) = 2·x⁴ − 4·x³ + 3·x² − x; F(3)−F(1) = 78
3 u=x+2; du=dx; пределы 2→6 F(x) = x³/3 + 2·x² + 4·x; F(4)−F(0) = 208/3
4 u=5−2x; du=−2dx; пределы 5→1 F(x) = 4·x³/3 − 10·x² + 25·x; F(2)−F(0) = 62/3
5 u=4x+1; du=4dx; пределы −3→5 F(x) = 2·x² + x; F(1)−F(-1) = 2
6 u=6x+1; du=6dx; пределы 1→7 F(x) = 12·x³ + 6·x² + x; F(1)−F(0) = 19
7 u=2x+3; du=2dx; пределы 3→9 F(x) = x² + 3·x; F(3)−F(0) = 18
8 u=3x−2; du=3dx; пределы 1→4 F(x) = 3·x³ − 6·x² + 4·x; F(2)−F(1) = 7
9 u=1−4x; du=−4dx; пределы 1→−3 F(x) = −16·x⁴ + 16·x³ − 6·x² + x; F(1)−F(0) = −5
10 u=x−1; du=dx; пределы −1→1 F(x) = x⁵/5 − x⁴ + 2·x³ − 2·x² + x; F(2)−F(0) = 2/5
11 u=2−3x; du=−3dx; пределы 2→−4 F(x) = 3·x³ − 6·x² + 4·x; F(2)−F(0) = 8
12 u=5x+4; du=5dx; пределы −1→4 F(x) = 25·x³/3 + 20·x² + 16·x; F(0)−F(-1) = 13/3
13 u=x+2>0; du=dx; пределы 2→3 F(x) = ln(x + 2); F(1)−F(0) = ln(3/2)
14 u=2x+1>0; du=2dx; пределы 1→5 F(x) = ln(2·x + 1)/2; F(2)−F(0) = ln(5)/2

Разбор особого случая № 9: u=1−4x, значит dx=−du/4. При x=0 u=1, при x=1 u=−3; выражение (1/−4)·∫ от 1 до −3 u³du = −(81−1)/16 = −5. Отрицательный результат допустим, потому что нечётная степень делает функцию отрицательной на части отрезка.

В заданиях 13 и 14 знаменатели x+2 и 2x+1 на своих отрезках строго положительны. Следовательно, 13: ln(3/2), 14: (ln 5)/2. Если бы на интервале находилась точка обращения знаменателя в нуль, обычный определённый интеграл по всему отрезку не существовал бы; механическая подстановка в логарифм дала бы недопустимый ответ.

Контроль результата и критерии

  • За каждую задачу: 1 балл — верная замена и коэффициент dx; 1 балл — новые пределы; 1 балл — правильный ответ.
  • В задачах 13–14 отдельно сформулируйте ОДЗ; в прикладных кейсах подпишите единицы измерения.
  • Проверяйте степенные примеры обратным дифференцированием найденной первообразной: производная обязана совпадать с исходной подынтегральной функцией.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым