Угол между двумя плоскостями на модели призмы — проверочная работа, 11 класс

Проверочная работа, 11 класс. Задача — распознать именно угол между плоскостями, а не угол между наклонной прямой и основанием. Работа рассчитана на 20–25 минут, необходимые чертежи можно выполнить на клетчатой бумаге.

Короткий входной контроль

У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию. Если две боковые грани пересекаются по вертикальному ребру AA₁, сечение плоскостью основания (перпендикулярной AA₁) даёт две прямые, образующие линейный угол двугранного угла. Угол между плоскостями обычно берут меньший, от 0° до 90°; он может не совпадать с внутренним двугранным углом многогранника, если тот тупой.

В вычислительных задачах используем прямую призму с основанием A(0;0), B(6;0), C(u;v), где u>0, v>0, и боковыми рёбрами вдоль Oz. Плоскости ABB₁A₁ и ACC₁A₁ пересекаются по AA₁. Их острый угол θ определяется формулой tg θ = v/u; высота призмы в формулу не входит. Для θ=45° отношение v/u=1.

Выбери вариант и обоснуй выбор — № 1–4

1. Две соседние боковые грани прямой призмы пересекаются по боковому ребру. Какой плоскостью лучше строить линейный угол: параллельной ребру или перпендикулярной ему?
2. У прямоугольного параллелепипеда основание и боковая грань имеют угол 0°, 45° или 90°?
3. Две плоскости параллельных оснований прямой призмы образуют угол 0° или 180° (в принятом определении меньшего угла)?
4. В треугольном основании угол между AB и AC равен 120°. Угол между соответствующими бесконечными боковыми плоскостями равен 60° или 120°? Поясни различие с внутренним двугранным углом.

Найди угол, не подменяя его наклоном ребра — № 5–14

5. В основании C(2;2), высота прямой призмы 6 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
6. В основании C(3;5), высота прямой призмы 7 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
7. В основании C(4;7), высота прямой призмы 8 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
8. В основании C(1;2), высота прямой призмы 9 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
9. В основании C(2;1), высота прямой призмы 10 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
10. В основании C(3;4), высота прямой призмы 11 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
11. В основании C(4;3), высота прямой призмы 12 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
12. В основании C(5;12), высота прямой призмы 13 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
13. В основании C(12;5), высота прямой призмы 14 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.
14. В основании C(8;7), высота прямой призмы 15 см. Найди tg θ для плоскостей ABB₁A₁ и ACC₁A₁, а если угол получается 45°, укажи его величину.

Проверка понимания — № 15–16

15. В призме ABB₁A₁ и ACC₁A₁ образуют θ=45°. После удвоения только высоты призмы изменится ли θ? Почему?
16. Верно ли: «угол между двумя плоскостями всегда равен углу между любыми двумя выбранными в них пересекающимися прямыми»? Приведи контрпример.

Лист ответов

1. № 1. Перпендикулярной общему ребру, чтобы следы обеих плоскостей дали линейный угол.
2. № 2. 90°: направление бокового ребра перпендикулярно основанию.
3. № 3. 0°: параллельные плоскости имеют нулевой угол.
4. № 4. 60° — меньший угол между прямыми AB и AC; внутренний двугранный угол соответствующей призмы может быть 120°.

5. № 5. tg θ=2/2=1, θ=45°. Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 6 см не влияет на ответ.
6. № 6. tg θ=5/3, θ=arctg(5/3). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 7 см не влияет на ответ.
7. № 7. tg θ=7/4, θ=arctg(7/4). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 8 см не влияет на ответ.
8. № 8. tg θ=2/1, θ=arctg(2/1). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 9 см не влияет на ответ.
9. № 9. tg θ=1/2, θ=arctg(1/2). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 10 см не влияет на ответ.
10. № 10. tg θ=4/3, θ=arctg(4/3). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 11 см не влияет на ответ.
11. № 11. tg θ=3/4, θ=arctg(3/4). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 12 см не влияет на ответ.
12. № 12. tg θ=12/5, θ=arctg(12/5). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 13 см не влияет на ответ.
13. № 13. tg θ=5/12, θ=arctg(5/12). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 14 см не влияет на ответ.
14. № 14. tg θ=7/8, θ=arctg(7/8). Использовали горизонтальные лучи AB и AC, поэтому высота 15 см не влияет на ответ.

15. № 15. Не изменится: высота не меняет направлений прямых, полученных сечением перпендикулярно вертикальному ребру.
16. № 16. Неверно. В двух взаимно перпендикулярных плоскостях можно взять, например, вертикальные направления, параллельные друг другу; их угол 0°, а угол плоскостей 90°. Требуются специально построенные перпендикуляры к линии пересечения.

Почему легко ошибиться

• Откладывать угол между произвольными наклонными отрезками в гранях вместо линейного угла, построенного перпендикулярно общему ребру.
• Принимать внутренний тупой двугранный угол за острый угол между бесконечными плоскостями.
• Подставлять высоту призмы в отношение v/u: здесь оба катета лежат в плоскости основания.

Проверка: тангенс безразмерен; при u=v получается 45°, при v>u угол больше 45°, при v<u меньше 45°. Запись arctg отношения — точное значение; десятичное округление без указания точности не требуется.