Линейный угол двугранного угла в пирамиде — проверочная работа, 11 класс

Проверочная работа, 11 класс. В задачах рассматривается угол между плоскостью боковой грани SAB правильной четырёхугольной пирамиды и плоскостью её основания. Главное действие — правильно построить линейный угол двугранного угла вдоль ребра AB.

Опорная схема на плоскости

Пусть O — центр квадратного основания со стороной a, S — вершина над O, M — середина стороны AB. По свойству правильной пирамиды SO⊥(ABCD), OM⊥AB, SM⊥AB. Поэтому ∠SMO — линейный угол двугранного угла по AB. Треугольник SOM прямоугольный при O; OM=a/2, SO=h, SM=l (апофема). Тогда tg φ=h/(a/2)=2h/a, sin φ=h/l, cos φ=(a/2)/l. При положительных a и h угол острый.

Как читать исходные данные

Основной уровень — № 1–10

1. Сторона основания a=6 см, высота SO=4 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
2. Сторона основания a=10 см, высота SO=12 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
3. Сторона основания a=8 см, высота SO=3 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
4. Сторона основания a=14 см, высота SO=24 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
5. Сторона основания a=12 см, высота SO=8 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
6. Сторона основания a=16 см, высота SO=15 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
7. Сторона основания a=18 см, высота SO=9 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
8. Сторона основания a=20 см, высота SO=21 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
9. Сторона основания a=24 см, высота SO=5 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.
10. Сторона основания a=4 см, высота SO=7 см. Укажи отрезки, образующие линейный угол, вычисли OM, tg φ и длину апофемы SM.

Объяснительный уровень — № 11–16

11. При a=12 см и апофеме l=10 см определи h и tg φ. Убедись, что l>a/2.
12. При h=8 см и φ=45° вычисли сторону основания a и апофему l.
13. При a=6 см и h=3√3 см определи φ без калькулятора.
14. В правильной квадратной пирамиде a=14 см, h=7 см. Ученик нашёл угол по треугольнику SAO. Почему это не линейный угол при ребре AB? Найди правильный угол.
15. При одинаковой высоте h сравни линейные углы пирамид со сторонами a=6 и a=12: какой больше и почему?
16. При l=5 см и a=10 см существует ли невырожденная правильная пирамида? Объясни, что означало бы h=0.

Ответы со сверкой

1. № 1. ∠SMO; OM=3 см; tg φ=4/3; SM=√(4²+3²)=5 см.
2. № 2. ∠SMO; OM=5 см; tg φ=12/5; SM=√(12²+5²)=13 см.
3. № 3. ∠SMO; OM=4 см; tg φ=3/4; SM=√(3²+4²)=5 см.
4. № 4. ∠SMO; OM=7 см; tg φ=24/7; SM=√(24²+7²)=25 см.
5. № 5. ∠SMO; OM=6 см; tg φ=4/3; SM=√(8²+6²)=10 см.
6. № 6. ∠SMO; OM=8 см; tg φ=15/8; SM=√(15²+8²)=17 см.
7. № 7. ∠SMO; OM=9 см; tg φ=1/1; SM=√(9²+9²)=√162 см.
8. № 8. ∠SMO; OM=10 см; tg φ=21/10; SM=√(21²+10²)=√541 см.
9. № 9. ∠SMO; OM=12 см; tg φ=5/12; SM=√(5²+12²)=13 см.
10. № 10. ∠SMO; OM=2 см; tg φ=7/2; SM=√(7²+2²)=√53 см.

11. № 11. OM=6 см, h=√(10²−6²)=8 см, tg φ=8/6=4/3. Размеры — см, тангенс безразмерен.
12. № 12. tg 45°=1=h/(a/2), значит a=16 см; l=√(8²+8²)=8√2 см.
13. № 13. OM=3 см, tg φ=3√3/3=√3, поэтому φ=60°.
14. № 14. AO=a/√2 — расстояние до вершины A, а не до середины ребра; линейный угол при AB — ∠SMO, tg φ=7/7=1, φ=45°.
15. № 15. При a=6 отношение h/3 больше, чем h/6 при a=12. Поэтому первый угол больше (при h>0).
16. № 16. Нет: OM=a/2=5 см, тогда h²=l²−OM²=0, S лежала бы в основании и пирамида была бы вырожденной.

Критерии самопроверки

• 1 балл за верное построение линейного угла: обе его стороны перпендикулярны ребру AB в своих гранях.
• 1 балл за выбор нужной горизонтальной длины OM=a/2, а не OA=a/√2.
• 1 балл за точную формулу тангенса или вычисление высоты через апофему и проверку l>OM.
• 1 балл за корректные единицы длин и безразмерность тригонометрических отношений.

Проверка смыслом: если высота растёт при фиксированной стороне основания, боковая грань становится круче, и φ возрастает; при уменьшении высоты угол стремится к нулю. Само название «линейный угол» не означает угол между произвольными рёбрами, изображёнными рядом.