Вычисление высоты правильной пирамиды через апофему: примеры и объяснения для 11 класса

Проверочная работа, 11 класс. Находим высоту правильной пирамиды по апофеме боковой грани. В геометрии есть два разных отрезка, которые могут называться апофемами: апофема пирамиды l — высота боковой грани, апофема правильного многоугольника r — радиус его вписанной окружности.

Памятка — один прямоугольный треугольник

Обозначим S — вершину пирамиды, O — центр правильного основания, M — середину его стороны. Тогда SO=h, SM=l, OM=r, при этом ∠SOM=90°. По теореме Пифагора h=√(l²−r²). Требование невырожденной пирамиды: l>r>0. При l=r получается h=0, а при l<r реальные размеры неправильны.

Для квадратного основания со стороной a имеем r=a/2. Для правильного треугольника r=a√3/6. Для правильного шестиугольника r=a√3/2. Ни одна из этих формул не зависит от высоты пирамиды; это свойства основания.

Образцы решений

1. Квадрат a=6 см, апофема пирамиды l=5 см. r=3 см, h=√(25−9)=4 см.
2. Правильный треугольник a=6√3 см, l=5 см. r=(6√3)√3/6=3 см, h=4 см.
3. Правильный шестиугольник a=2√3 см, l=13 см. r=a√3/2=3 см, h=√(169−9)=4√10 см.

Базовые задачи — № 1–10

1. Правильная квадратная пирамида: a=6 см, l=5 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
2. Правильная квадратная пирамида: a=10 см, l=13 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
3. Правильная квадратная пирамида: a=16 см, l=17 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
4. Правильная квадратная пирамида: a=14 см, l=25 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
5. Правильная квадратная пирамида: a=8 см, l=5 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
6. Правильная квадратная пирамида: a=12 см, l=10 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
7. Правильная квадратная пирамида: a=20 см, l=26 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
8. Правильная квадратная пирамида: a=18 см, l=15 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
9. Правильная квадратная пирамида: a=24 см, l=20 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².
10. Правильная квадратная пирамида: a=30 см, l=17 см. Найди h, затем проверь h²+r²=l².

Повышенный уровень — № 11–20

11. Правильная треугольная пирамида: a=8√3 см, l=5 см. Найди h и укажи r.
12. Правильная треугольная пирамида: a=12√3 см, l=10 см. Найди h.
13. Правильная шестиугольная пирамида: a=4√3 см, l=10 см. Найди h.
14. Правильная шестиугольная пирамида: a=6 см, l=6 см. Найди h в точном виде.
15. Квадратное основание a=18 см, апофема l=9 см. Есть ли невырожденная пирамида?
16. Квадратное основание a=20 см, апофема l=8 см. Объясни, почему задача не имеет решения в действительных длинах.
17. Квадрат a=0,8 м, апофема l=50 см. Приведи величины к одним единицам и найди высоту в сантиметрах.
18. У квадратной пирамиды a=12 см, h=8 см. Найди апофему l и проверь обратное вычисление h.
19. Две правильные квадратные пирамиды имеют одинаковую апофему l=13 см, но стороны основания 10 и 24 см. Сравни их высоты.
20. Апофема квадратной пирамиды l=√145 см, высота h=12 см. Найди сторону основания и проверь все размеры.

Ключ решений

1. № 1. r=3 см; h=√(5²−3²)=4 см. Проверка: h²+3²=25.
2. № 2. r=5 см; h=√(13²−5²)=12 см. Проверка: h²+5²=169.
3. № 3. r=8 см; h=√(17²−8²)=15 см. Проверка: h²+8²=289.
4. № 4. r=7 см; h=√(25²−7²)=24 см. Проверка: h²+7²=625.
5. № 5. r=4 см; h=√(5²−4²)=3 см. Проверка: h²+4²=25.
6. № 6. r=6 см; h=√(10²−6²)=8 см. Проверка: h²+6²=100.
7. № 7. r=10 см; h=√(26²−10²)=24 см. Проверка: h²+10²=676.
8. № 8. r=9 см; h=√(15²−9²)=12 см. Проверка: h²+9²=225.
9. № 9. r=12 см; h=√(20²−12²)=16 см. Проверка: h²+12²=400.
10. № 10. r=15 см; h=√(17²−15²)=8 см. Проверка: h²+15²=289.

11. № 11. r=a√3/6=4 см; h=√(25−16)=3 см.
12. № 12. r=6 см; h=√(100−36)=8 см.
13. № 13. r=(4√3)√3/2=6 см; h=√(100−36)=8 см.
14. № 14. r=3√3 см; h=√(36−27)=3 см.
15. № 15. Нет: r=a/2=9 см, l=r, поэтому h=0 и фигура вырожденна.
16. № 16. Нет: r=10 см>l=8 см, под корнем 64−100<0, действительной высоты не существует.
17. № 17. a=80 см, r=40 см; h=√(2500−1600)=30 см.
18. № 18. r=6 см; l=√(8²+6²)=10 см; обратная проверка √(100−36)=8 см.
19. № 19. Для a=10 получаем r=5, h=12 см; для a=24 получаем r=12, h=5 см. При одинаковой l меньшее основание даёт большую высоту.
20. № 20. r=√(l²−h²)=√(145−144)=1 см; a=2r=2 см. Проверка: 12²+1²=145, l=√145 см.

Критерии оценки и исправление ошибок

Ориентир: 4 балла — решение полное; 3 — одна неточность; 2 — нужно повторить свойства основания; 0–1 — вернись к прямоугольному треугольнику SOM. В этой работе высота всегда неотрицательная, отрицательный корень уравнения h²=l²−r² не подходит для геометрической длины.