Дисперсия по простому дискретному распределению — задания на закрепление, 11 класс

Исследование: одинаковое среднее не означает одинаковый разброс

Представьте две серии с одним средним значением 5. В первой всегда получается 5; во второй с равными вероятностями получаются 3 и 7. Среднее у обеих серий равно 5, но первая величина постоянна, а вторая отклоняется от пяти на две единицы. Для второй дисперсия равна (3−5)²·1/2+(7−5)²·1/2=4, а для первой — нулю.

Гипотеза и формула

Сформулируйте гипотезу: чем сильнее наблюдения разбросаны вокруг среднего, тем больше дисперсия. Два равнозначных расчёта: D(X)=Σ(xᵢ−E(X))²pᵢ и D(X)=E(X²)−[E(X)]². Величину E(X²) находят по квадратам исходов, а не возводя готовое E(X) в квадрат.

Если X измеряется в рублях, D(X) измеряется в рублях². Для интерпретации разброса в исходных единицах используют стандартное отклонение σ=√D(X). Нулевая дисперсия означает, что все исходы с положительной вероятностью совпадают с E(X).

Проверка гипотезы на четырёх таблицах

В последних трёх распределениях среднее одинаковое, но дисперсии равны 4, 0 и 1. Значит, одно лишь среднее не позволяет судить о стабильности величины. Для корректной проверки каждый раз сначала подтверждайте, что таблица вероятностей действительно описывает распределение.

Самостоятельная исследовательская серия — 15 задач

Решайте письменно. Сначала покажите формулу E(X), затем формулу E(X²), после этого вычтите квадрат среднего. В заданиях 11–15 проверьте также возможные пограничные случаи: отрицательные исходы, четыре возможных значения и постоянную величину.

1. 1. Результат броска. Значения: 0 с p=1/2; 2 с p=1/2. Сначала вычислите E(X), затем E(X²) и дисперсию.
2. 2. Две оценки. Значения: 2 с p=1/4; 6 с p=3/4. Подумайте, почему дисперсия не может быть отрицательной.
3. 3. Ошибка счётчика. Значения: -1 с p=1/4; 0 с p=1/2; 1 с p=1/4. Объясните, что означает разброс относительно среднего.
4. 4. Три расстояния. Значения: 1 с p=1/4; 3 с p=1/2; 5 с p=1/4. Найдите дисперсию двумя способами (через E(X²) и квадраты отклонений).
5. 5. Смена заказов. Значения: 0 с p=1/5; 2 с p=3/5; 5 с p=1/5. Сначала вычислите E(X), затем E(X²) и дисперсию.
6. 6. Очки тренировки. Значения: 0 с p=1/2; 1 с p=1/4; 4 с p=1/4. Подумайте, почему дисперсия не может быть отрицательной.
7. 7. Сдвинутая шкала. Значения: 3 с p=1/2; 5 с p=1/2. Объясните, что означает разброс относительно среднего.
8. 8. Монетный бонус. Значения: 0 с p=1/8; 4 с p=3/4; 8 с p=1/8. Найдите дисперсию двумя способами (через E(X²) и квадраты отклонений).
9. 9. Счёт ошибок. Значения: 0 с p=3/5; 1 с p=1/5; 3 с p=1/5. Сначала вычислите E(X), затем E(X²) и дисперсию.
10. 10. Выдача призов. Значения: 0 с p=1/5; 5 с p=3/5; 10 с p=1/5. Подумайте, почему дисперсия не может быть отрицательной.
11. 11. Проверка точности. Значения: -2 с p=2/3; 1 с p=1/3. Объясните, что означает разброс относительно среднего.
12. 12. Новые значения. Значения: 1 с p=1/10; 2 с p=1/5; 3 с p=3/10; 4 с p=2/5. Найдите дисперсию двумя способами (через E(X²) и квадраты отклонений).
13. 13. Баллы проекта. Значения: 2 с p=1/3; 4 с p=1/3; 7 с p=1/3. Сначала вычислите E(X), затем E(X²) и дисперсию.
14. 14. Случайный множитель. Значения: 0 с p=1/4; 2 с p=1/2; 6 с p=1/4. Подумайте, почему дисперсия не может быть отрицательной.
15. 15. Стабильная величина. Значения: 7 с p=1. Объясните, что означает разброс относительно среднего.

Ключ с расчётами

1. 1. E(X)=1, E(X²)=2, D(X)=1. Проверка: 2 − (1)² = 1. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
2. 2. E(X)=5, E(X²)=28, D(X)=3. Проверка: 28 − (5)² = 3. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
3. 3. E(X)=0, E(X²)=1/2, D(X)=1/2. Проверка: 1/2 − (0)² = 1/2. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
4. 4. E(X)=3, E(X²)=11, D(X)=2. Проверка: 11 − (3)² = 2. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
5. 5. E(X)=11/5, E(X²)=37/5, D(X)=64/25. Проверка: 37/5 − (11/5)² = 64/25. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
6. 6. E(X)=5/4, E(X²)=17/4, D(X)=43/16. Проверка: 17/4 − (5/4)² = 43/16. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
7. 7. E(X)=4, E(X²)=17, D(X)=1. Проверка: 17 − (4)² = 1. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
8. 8. E(X)=4, E(X²)=20, D(X)=4. Проверка: 20 − (4)² = 4. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
9. 9. E(X)=4/5, E(X²)=2, D(X)=34/25. Проверка: 2 − (4/5)² = 34/25. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
10. 10. E(X)=5, E(X²)=35, D(X)=10. Проверка: 35 − (5)² = 10. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
11. 11. E(X)=-1, E(X²)=3, D(X)=2. Проверка: 3 − (-1)² = 2. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
12. 12. E(X)=3, E(X²)=10, D(X)=1. Проверка: 10 − (3)² = 1. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
13. 13. E(X)=13/3, E(X²)=23, D(X)=38/9. Проверка: 23 − (13/3)² = 38/9. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
14. 14. E(X)=5/2, E(X²)=11, D(X)=19/4. Проверка: 11 − (5/2)² = 19/4. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.
15. 15. E(X)=7, E(X²)=49, D(X)=0. Проверка: 49 − (7)² = 0. Вероятности дают сумму 1, а полученная дисперсия неотрицательна.

Вывод исследования

Дисперсия учитывает квадрат отклонений, поэтому сильные отклонения влияют заметнее слабых. При прибавлении константы c ко всем значениям дисперсия не меняется: D(X+c)=D(X). При умножении всех значений на k дисперсия изменяется в k² раз: D(kX)=k²D(X). Эти факты помогают проверять расчёты и обнаруживать арифметические ошибки.

Самопроверка: 15 баллов за верные значения, ещё 3 балла за правильное объяснение единиц измерения, квадрата отклонения и нулевой дисперсии. Если ошибка возникла на этапе E(X²), пересчитайте произведения x²p, не затрагивая уже верно найденное среднее.

Отдельная проверка преобразований

Для задания «Сдвинутая шкала» сначала найдите дисперсию величины X, которая принимает значения 3 и 5 поровну, затем мысленно вычтите из каждого исхода число 3. Отклонения от соответствующих средних остаются одинаковыми, а значит, и дисперсия не изменится. Для задания «Случайный множитель» сравните исходную дисперсию с величиной, полученной при умножении всех возможных значений на 2: результат должен увеличиться в четыре раза. Это не дополнительная таблица с новыми числами, а независимый способ контроля уже выполненной работы.

Полезно помнить различие между дисперсией распределения и выборочной дисперсией. Здесь распределение задано вероятностями, поэтому для вычисления не нужен множитель n/(n−1). Если вместо вероятностей были бы наблюдения некоторой выборки, способ оценки неизвестной дисперсии генеральной совокупности потребовал бы отдельного обсуждения. В этом рабочем листе необходимо использовать именно заданные вероятности.