Чтение функции распределения по ступенчатому графику — рабочий лист для 11 класса

Как читать ступенчатый график F(x)

Для дискретной величины F(x)=P(X≤x). Ступеньки постоянны между точками возможных значений, а в этих точках совершают скачки. Высота скачка в x=a есть P(X=a)=F(a)−F(a−0). Закрашенная точка принадлежит новой ступени справа; функция распределения непрерывна справа. Это особенно важно на границах.

На рабочем листе ступенчатые графики даны в точной печатной записи: каждая горизонтальная ступень подписана своим уровнем и промежутком оси x. Такая запись равносильна рисунку с горизонтальными отрезками и позволяет избежать ошибки при чтении маленьких точек. Для любого x вне перечисленных скачков F(x) не меняется.

График А: три ступени

F(x)
1       |                     ●──────────
7/10    |              ●──────○
1/5     |       ●──────○
0       |───────○
        +-------+------+------+----→ x
                -3      0      4

Точные интервалы:
F(x) = 0 при x < -3
F(x) = 1/5 при -3 ≤ x < 0
F(x) = 7/10 при 0 ≤ x < 4
F(x) = 1 при x ≥ 4

Подсказка к изображению: скачки находятся в точках -3, 0, 4. Прежде чем записывать вероятности, отметьте отдельно значение функции точно в точке скачка и на ближайшей ступени слева.

График Б: три ступени

F(x)
1       |                     ●──────────
1/2     |              ●──────○
1/4     |       ●──────○
0       |───────○
        +-------+------+------+----→ x
                -2      2      7

Точные интервалы:
F(x) = 0 при x < -2
F(x) = 1/4 при -2 ≤ x < 2
F(x) = 1/2 при 2 ≤ x < 7
F(x) = 1 при x ≥ 7

Подсказка к изображению: скачки находятся в точках -2, 2, 7. Прежде чем записывать вероятности, отметьте отдельно значение функции точно в точке скачка и на ближайшей ступени слева.

График В: три ступени

F(x)
1       |                     ●──────────
2/5     |              ●──────○
1/10    |       ●──────○
0       |───────○
        +-------+------+------+----→ x
                1      3      8

Точные интервалы:
F(x) = 0 при x < 1
F(x) = 1/10 при 1 ≤ x < 3
F(x) = 2/5 при 3 ≤ x < 8
F(x) = 1 при x ≥ 8

Подсказка к изображению: скачки находятся в точках 1, 3, 8. Прежде чем записывать вероятности, отметьте отдельно значение функции точно в точке скачка и на ближайшей ступени слева.

Упражнения к трём графикам

В каждой серии есть задания на значение F(x), размер скачка, строгое или нестрогое неравенство. Подпишите каждый ответ как вероятность от 0 до 1 и обоснуйте, какая ступень была прочитана.

1. 1. График А. Чему равна F(-4)?
2. 2. График А. Чему равна F(-3)?
3. 3. График А. Какова вероятность P(X=0)?
4. 4. График А. Чему равна P(X<0)?
5. 5. График А. Чему равна P(-3<X≤4)?
6. 6. График А. Чему равна P(X>0)?
7. 7. График А. Укажите сумму высот трёх скачков графика А.
8. 8. График Б. Чему равна F(-3)?
9. 9. График Б. Чему равна F(-2)?
10. 10. График Б. Какова вероятность P(X=2)?
11. 11. График Б. Чему равна P(X<2)?
12. 12. График Б. Чему равна P(-2<X≤7)?
13. 13. График Б. Чему равна P(X>2)?
14. 14. График Б. Укажите сумму высот трёх скачков графика Б.
15. 15. График В. Чему равна F(0)?
16. 16. График В. Чему равна F(1)?
17. 17. График В. Какова вероятность P(X=3)?
18. 18. График В. Чему равна P(X<3)?
19. 19. График В. Чему равна P(1<X≤8)?
20. 20. График В. Чему равна P(X>3)?
21. 21. График В. Укажите сумму высот трёх скачков графика В.

Ответы к графикам А, Б и В

1. 1. 0. Точка слева от первого скачка, накопленная вероятность равна нулю.
2. 2. 1/5. В точке первого скачка действует верхнее значение ступеньки (≤, а не <).
3. 3. 1/2. Размер второго скачка: 7/10−1/5.
4. 4. 1/5. Строгое неравенство не включает второй скачок.
5. 5. 4/5. Это сумма вероятностей второго и третьего исходов.
6. 6. 3/10. После второй ступени остаётся вероятность 1−7/10.
7. 7. 1. Сумма скачков равна полной вероятности 1.
8. 8. 0. Точка слева от первого скачка, накопленная вероятность равна нулю.
9. 9. 1/4. В точке первого скачка действует верхнее значение ступеньки (≤, а не <).
10. 10. 1/4. Размер второго скачка: 1/2−1/4.
11. 11. 1/4. Строгое неравенство не включает второй скачок.
12. 12. 3/4. Это сумма вероятностей второго и третьего исходов.
13. 13. 1/2. После второй ступени остаётся вероятность 1−1/2.
14. 14. 1. Сумма скачков равна полной вероятности 1.
15. 15. 0. Точка слева от первого скачка, накопленная вероятность равна нулю.
16. 16. 1/10. В точке первого скачка действует верхнее значение ступеньки (≤, а не <).
17. 17. 3/10. Размер второго скачка: 2/5−1/10.
18. 18. 1/10. Строгое неравенство не включает второй скачок.
19. 19. 9/10. Это сумма вероятностей второго и третьего исходов.
20. 20. 3/5. После второй ступени остаётся вероятность 1−2/5.
21. 21. 1. Сумма скачков равна полной вероятности 1.

Контроль правильного чтения границ

• Если X может принимать значение 3, то P(X<3) не включает вероятность события X=3, а F(3)=P(X≤3) включает её.
• Если F(x) не меняется между соседними скачками, вероятность попасть строго внутрь такого промежутка равна нулю.
• Для любого корректного графика распределения F(x) не убывает, а уровни находятся в интервале от 0 до 1; крайняя правая ступень имеет высоту 1.