Вероятность выбора без возвращения через сочетания — практикум с ответами для 11 класса

Разбор стартовой задачи: почему здесь нужны сочетания

Из набора с 5 красными и 7 белыми карточками одновременно выбирают 3. Требуется ровно 2 красные. Поскольку порядок выбранных карточек не важен, число всех наборов C(12,3)=220. Подходящих наборов C(5,2)·C(7,1)=10·7=70. Значит, вероятность равна 70/220=7/22.

Другой метод — учитывать порядок вытягивания: красная–красная–белая имеет вероятность (5/12)·(4/11)·(7/10), а всего возможны три расположения белой карточки в последовательности. Сумма трёх равных вероятностей также даёт 7/22. Для длинных выборок метод сочетаний обычно короче и снижает риск забыть одну из последовательностей.

Формула: если имеется A предметов первого вида и B предметов второго вида, случайно выбирают k предметов без возвращения, то P(ровно r предметов первого вида)=C(A,r)·C(B,k−r)/C(A+B,k). Здесь C(n,k)=n!/[k!(n−k)!]. Выбор равновероятен среди всех наборов размера k.

Практикум: семнадцать самостоятельных наборов

Записывайте отдельно количество всех сочетаний и количество благоприятных. Подразумевается, что предметы внутри набора различимы и каждый набор фиксированного размера одинаково вероятен. Если нужно найти вероятность невозможного выбора, объясните её значение без вычисления факториалов.

1. 1. Пенал: синие и зелёные ручки: 6 предметов первого вида и 5 второго; берут 3 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 2 синие».
2. 2. Коробка разноцветных жетонов: 7 предметов первого вида и 4 второго; берут 3 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 1 красный из семи».
3. 3. Лототрон с чёрными шарами: 5 предметов первого вида и 8 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ни одного чёрного».
4. 4. Набор разноцветных открыток: 9 предметов первого вида и 6 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 3 открытки первого вида».
5. 5. Ящик с помеченными деталями: 4 предметов первого вида и 9 второго; берут 3 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 1 помеченная».
6. 6. Стеллаж: книги двух форматов: 8 предметов первого вида и 5 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ни одной книги первого формата».
7. 7. Упаковки с двумя маркировками: 10 предметов первого вида и 3 второго; берут 5 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 2 упаковки первого типа».
8. 8. Палитра: красные и жёлтые: 3 предметов первого вида и 7 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 1 красная».
9. 9. Эксперимент с карточками: 6 предметов первого вида и 7 второго; берут 5 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 3 карточки первой группы».
10. 10. Выбор значков: 7 предметов первого вида и 7 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 2 значка первого вида».
11. 11. Выбор наклеек: 5 предметов первого вида и 9 второго; берут 3 без возвращения. Найдите вероятность события «ни одной наклейки первого вида».
12. 12. Запас ламп: 8 предметов первого вида и 9 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 1 лампа первого вида».
13. 13. Фишки настольной игры: 9 предметов первого вида и 4 второго; берут 3 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 2 фишки первого вида».
14. 14. Маркированные конверты: 4 предметов первого вида и 8 второго; берут 5 без возвращения. Найдите вероятность события «ни одного конверта первого вида».
15. 15. Карточки на олимпиаде: 5 предметов первого вида и 6 второго; берут 4 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 2 карточки первого вида».
16. 16. Магниты двух типов: 6 предметов первого вида и 9 второго; берут 5 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 1 магнит первого вида».
17. 17. Набор открыток для подарков: 8 предметов первого вида и 6 второго; берут 5 без возвращения. Найдите вероятность события «ровно 3 открытки первого вида».

Ответы с подсчётом сочетаний

1. 1. Всего C(11,3)=165; благоприятных C(6,2)·C(5,1)=15·5=75. P=75/165=5/11.
2. 2. Всего C(11,3)=165; благоприятных C(7,1)·C(4,2)=7·6=42. P=42/165=14/55.
3. 3. Всего C(13,4)=715; благоприятных C(5,0)·C(8,4)=1·70=70. P=70/715=14/143.
4. 4. Всего C(15,4)=1365; благоприятных C(9,3)·C(6,1)=84·6=504. P=504/1365=24/65.
5. 5. Всего C(13,3)=286; благоприятных C(4,1)·C(9,2)=4·36=144. P=144/286=72/143.
6. 6. Всего C(13,4)=715; благоприятных C(8,0)·C(5,4)=1·5=5. P=5/715=1/143.
7. 7. Всего C(13,5)=1287; благоприятных C(10,2)·C(3,3)=45·1=45. P=45/1287=5/143.
8. 8. Всего C(10,4)=210; благоприятных C(3,1)·C(7,3)=3·35=105. P=105/210=1/2.
9. 9. Всего C(13,5)=1287; благоприятных C(6,3)·C(7,2)=20·21=420. P=420/1287=140/429.
10. 10. Всего C(14,4)=1001; благоприятных C(7,2)·C(7,2)=21·21=441. P=441/1001=63/143.
11. 11. Всего C(14,3)=364; благоприятных C(5,0)·C(9,3)=1·84=84. P=84/364=3/13.
12. 12. Всего C(17,4)=2380; благоприятных C(8,1)·C(9,3)=8·84=672. P=672/2380=24/85.
13. 13. Всего C(13,3)=286; благоприятных C(9,2)·C(4,1)=36·4=144. P=144/286=72/143.
14. 14. Всего C(12,5)=792; благоприятных C(4,0)·C(8,5)=1·56=56. P=56/792=7/99.
15. 15. Всего C(11,4)=330; благоприятных C(5,2)·C(6,2)=10·15=150. P=150/330=5/11.
16. 16. Всего C(15,5)=3003; благоприятных C(6,1)·C(9,4)=6·126=756. P=756/3003=36/143.
17. 17. Всего C(14,5)=2002; благоприятных C(8,3)·C(6,2)=56·15=840. P=840/2002=60/143.

Две типичные ловушки

Во-первых, нельзя использовать выражение C(A,r) в одиночку: остальные k−r выбранных предметов должны быть взяты из второй группы, и число вариантов для них также важно. Во-вторых, нельзя подставлять вероятности как при выборе с возвращением: после каждого извлечения размер доступного набора уменьшается.

Проверка правильности результата: числитель не может превышать знаменатель, а вероятность должна находиться от 0 до 1. Для n<k сочетание C(n,k) невозможно и соответствующее благоприятное число равно нулю. В наших задачах все события возможны, но формула работает и для невозможных событий, если считать соответствующее число сочетаний нулём.

Для самостоятельного контроля объясните, почему порядок не влияет на число наборов, но может влиять на последовательные условные вероятности. Затем выберите любое задание и решите его вторым способом через дерево извлечений: обе методики обязаны дать одинаковый ответ.

Почему вероятность не зависит от порядка перечисления цветов

При подсчёте C(A,r)·C(B,k−r) обозначения «первый вид» и «второй вид» условны. Если поменять группы местами, событие «ровно r предметов первого вида» превратится в «ровно k−r предметов второго вида», и произведение сочетаний просто поменяет порядок множителей. Это позволяет проверять решение без переписывания всех расчётов. Применяйте такое наблюдение только к одному и тому же событию, а не к двум событиям с разными требованиями.

Существенно и условие равновозможности всех наборов. Оно верно, например, если одинаковые по вероятности физические предметы тщательно перемешаны и выбираются случайно. Если какие-то предметы имеют повышенный шанс попасть в выборку, простое отношение благоприятных сочетаний к общему числу сочетаний уже не даёт правильной вероятности. В школьных задачах равновозможность набора обычно подразумевается, но в прикладном исследовании её нужно обосновывать.

Для учителя: предложите ученику сначала написать словесную схему «выбрать нужное число первого вида и дополнить вторым», затем числитель, потом знаменатель. Раздельная запись особенно помогает в заданиях 7, 9 и 17, где без неё легко перепутать размер выборки и число предметов требуемого вида.