Построение дерева условных вероятностей — задания на закрепление, 11 класс

Как построить дерево вероятностей

Сначала из начальной точки проведите две ветви для события A и противоположного события ¬A. Их вероятности обязательно дают 1. Из каждой ветви проведите две новые: B и ¬B. На втором уровне подпишите условные вероятности P(B|A), P(¬B|A), P(B|¬A), P(¬B|¬A). В каждом узле сумма вероятностей двух выходящих ветвей также равна 1.

Вероятность полного пути находят умножением вдоль ветвей. Если нужно получить одно и то же событие B по двум несовместимым путям, их вероятности складывают: P(B)=P(A)P(B|A)+P(¬A)P(B|¬A). Это закон полной вероятности в простом двухэтапном дереве. Не заменяйте условные вероятности безусловными: источник выбора ветви имеет значение.

Ситуация 1. Служба доставки

A — посылка пришла утром. B — посылка доставлена в срок. Пусть P(A)=3/5, P(B|A)=4/5, P(B|¬A)=1/2.

Старт
├─ A: 3/5
│  ├─ B: 4/5
│  └─ ¬B: ?
└─ ¬A: ?
   ├─ B: 1/2
   └─ ¬B: ?

1. Дополните пропущенные вероятности двух ветвей второго уровня и ветви ¬A.

2. Найдите вероятность полного пути A → B.

3. Найдите вероятность пути ¬A → B.

4. Вычислите общую вероятность события B.

5. Если известно, что событие B произошло, найдите вероятность исходной ветви A.

Ситуация 2. Метеостанция

A — идёт дождь. B — поезд прибывает без задержки. Пусть P(A)=1/4, P(B|A)=2/5, P(B|¬A)=9/10.

Старт
├─ A: 1/4
│  ├─ B: 2/5
│  └─ ¬B: ?
└─ ¬A: ?
   ├─ B: 9/10
   └─ ¬B: ?

6. Дополните пропущенные вероятности двух ветвей второго уровня и ветви ¬A.

7. Найдите вероятность полного пути A → B.

8. Найдите вероятность пути ¬A → B.

9. Вычислите общую вероятность события B.

Ситуация 3. Библиотечные заявки

A — книга заказана онлайн. B — заказ забрали в день поступления. Пусть P(A)=2/3, P(B|A)=3/4, P(B|¬A)=1/3.

Старт
├─ A: 2/3
│  ├─ B: 3/4
│  └─ ¬B: ?
└─ ¬A: ?
   ├─ B: 1/3
   └─ ¬B: ?

10. Дополните пропущенные вероятности двух ветвей второго уровня и ветви ¬A.

11. Найдите вероятность полного пути A → B.

12. Найдите вероятность пути ¬A → B.

13. Вычислите общую вероятность события B.

14. Если известно, что событие B произошло, найдите вероятность исходной ветви A.

Ситуация 4. Проверка изделий

A — выбран станок 1. B — изделие прошло тест. Пусть P(A)=7/10, P(B|A)=9/10, P(B|¬A)=3/5.

Старт
├─ A: 7/10
│  ├─ B: 9/10
│  └─ ¬B: ?
└─ ¬A: ?
   ├─ B: 3/5
   └─ ¬B: ?

15. Дополните пропущенные вероятности двух ветвей второго уровня и ветви ¬A.

16. Найдите вероятность полного пути A → B.

17. Найдите вероятность пути ¬A → B.

18. Вычислите общую вероятность события B.

Ключ к восемнадцати заданиям

1. 1. P(¬A)=2/5, P(¬B|A)=1/5, P(¬B|¬A)=1/2. Все суммы в узлах равны 1.
2. 2. P(A∩B)=3/5·4/5=12/25.
3. 3. P(¬A∩B)=2/5·1/2=1/5.
4. 4. P(B)=12/25+1/5=17/25. Два пути не пересекаются.
5. 5. P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=12/25/17/25=12/17. Здесь P(B)>0, деление допустимо.
6. 6. P(¬A)=3/4, P(¬B|A)=3/5, P(¬B|¬A)=1/10. Все суммы в узлах равны 1.
7. 7. P(A∩B)=1/4·2/5=1/10.
8. 8. P(¬A∩B)=3/4·9/10=27/40.
9. 9. P(B)=1/10+27/40=31/40. Два пути не пересекаются.
10. 10. P(¬A)=1/3, P(¬B|A)=1/4, P(¬B|¬A)=2/3. Все суммы в узлах равны 1.
11. 11. P(A∩B)=2/3·3/4=1/2.
12. 12. P(¬A∩B)=1/3·1/3=1/9.
13. 13. P(B)=1/2+1/9=11/18. Два пути не пересекаются.
14. 14. P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=1/2/11/18=9/11. Здесь P(B)>0, деление допустимо.
15. 15. P(¬A)=3/10, P(¬B|A)=1/10, P(¬B|¬A)=2/5. Все суммы в узлах равны 1.
16. 16. P(A∩B)=7/10·9/10=63/100.
17. 17. P(¬A∩B)=3/10·3/5=9/50.
18. 18. P(B)=63/100+9/50=81/100. Два пути не пересекаются.

Критерии самопроверки

За правильно подписанные дополняющие ветви начисляйте 1 балл; за расчёт произведения вдоль пути — ещё по одному баллу; за сложение двух несовместимых путей — 1 балл. Не считайте путь дважды: A∩B и ¬A∩B не имеют общих исходов. Для дополнительного вопроса о P(A|B) разделите вероятность нужного пути на общую вероятность B, а не на P(A).

Финальная проверка дерева: сложите вероятности четырёх конечных путей A∩B, A∩¬B, ¬A∩B и ¬A∩¬B. Должно получиться 1. Если сумма иная, ошибка обычно кроется либо в пропущенном дополнении до единицы, либо в неверном умножении вероятностей с разных уровней. Величины здесь безразмерные, поэтому ответ записывают числом от 0 до 1 либо процентом.

Подсказки к правильному рисунку дерева

Проведите две пары ответвлений раздельно и подпишите вероятность только непосредственно у той ветви, к которой она относится. В частности, P(B|¬A) не следует переносить на ветвь из узла A: это другая условная вероятность. В примере с погодой вероятность B при дожде равна 2/5, а при отсутствии дождя — 9/10. Их нельзя просто сложить: сначала учитывается вероятность самого дождя или его отсутствия.

При оформлении решения по каждой ситуации удобно выделить три шага. Первый: дополнить каждую развилку до единицы. Второй: получить четыре вероятности конечных путей как произведения, а затем проверить их сумму. Третий: если событие описывается несколькими путями, сложить только подходящие вероятности. В задаче с библиотечными заказами дополнительный вопрос о P(A|B) показывает, зачем важно сначала вычислить общий шанс события B.

Для печатной работы схема дерева оставлена статической: её можно переписать на бумагу, закрыть готовые подписи и восстановить их самостоятельно. Здесь нет кнопок, которые обещают автоматическую проверку. Результаты и методы контроля полностью приведены в ключе.