Определение всех подходящих чисел с запретом соседних одинаковых цифр — карточки с ответами, 5 класс

Проверим утверждение: «различные соседние» не значит «все различные»

Правило «две соседние цифры не должны совпадать» проверяется только между разрядами рядом. Например, число 353 допустимо, поскольку соседние пары — 3 и 5, затем 5 и 3. Число 355 не подходит, поскольку его последние две цифры одинаковы. Смешивать это правило с запретом повторов во всём числе — распространённая ошибка.

Почему полный перебор работает

Для каждого числа выбирайте цифру слева направо. Первая цифра не может быть нулём. На каждом следующем шаге из данного набора исключается только цифра, уже стоящая непосредственно слева. После этого проверяются дополнительные условия: сумма, чётность, заданный разряд. Такой перебор не повторяет вариантов и не пропускает их: всякое допустимое число проходит те же последовательные выборы.

12 задач на полное перечисление и обоснование

1. Составьте все 3-значные числа из цифр {3, 7} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; дополнительных ограничений нет. Объясните, почему список полон.
2. Составьте все 3-значные числа из цифр {0, 2} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; первая цифра 2. Объясните, почему список полон.
3. Составьте все 3-значные числа из цифр {1, 3, 5} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; цифра сотен 3, а единиц 5. Объясните, почему список полон.
4. Составьте все 3-значные числа из цифр {2, 4, 7} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; число чётное, цифра сотен 7. Объясните, почему список полон.
5. Составьте все 4-значные числа из цифр {0, 1, 3} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; число оканчивается на 0. Объясните, почему список полон.
6. Составьте все 4-значные числа из цифр {1, 2, 3} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; цифра тысяч 2 и цифра единиц 1. Объясните, почему список полон.
7. Составьте все 3-значные числа из цифр {0, 5, 8} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; сумма цифр равна 13. Объясните, почему список полон.
8. Составьте все 3-значные числа из цифр {1, 4, 6} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; цифры сотен и единиц совпадают. Объясните, почему список полон.
9. Составьте все 4-значные числа из цифр {2, 3} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; первая и последняя цифры разные. Объясните, почему список полон.
10. Составьте все 4-значные числа из цифр {0, 2, 5} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; цифры тысяч и единиц 5. Объясните, почему список полон.
11. Составьте все 3-значные числа из цифр {1, 2, 4} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; сумма цифр равна 7. Объясните, почему список полон.
12. Составьте все 3-значные числа из цифр {0, 3, 6} (повторы разрешены), в которых нет одинаковых соседних цифр; число больше 600 и чётное. Объясните, почему список полон.

Доказательство на коротком примере

Из цифр {3, 7} трёхзначное число без одинаковых соседей должно чередовать разряды. Если начинаем с 3, вынужденно получаем 373; если с 7 — 737. Других первых цифр в наборе нет, а выбор каждой следующей определяется запретом. Значит, эти два варианта исчерпывают все ответы.

Ответы: все числа, а не только их количество

1. 373, 737. Количество: 2. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
2. 202. Количество: 1. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
3. 315. Количество: 1. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
4. 724, 742. Количество: 2. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
5. 1010, 1030, 1310, 3010, 3030, 3130. Количество: 6. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
6. 2121, 2131, 2321. Количество: 3. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
7. 508, 580, 805, 850. Количество: 4. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
8. 141, 161, 414, 464, 616, 646. Количество: 6. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
9. 2323, 3232. Количество: 2. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
10. 5025, 5205. Количество: 2. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
11. 124, 142, 214, 241, 412, 421. Количество: 6. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.
12. 606, 630, 636. Количество: 3. Перебор ведётся по допустимым первым цифрам и не допускает равенств между соседними разрядами.

Самостоятельное доказательство полноты

Для любой выбранной задачи составьте ветвление: допустимая первая цифра → доступные вторые → возможные третьи (и четвёртые). На ветке зачёркивайте переход к той же цифре, что и предыдущая. Если условие говорит «первая и последняя совпадают», это не нарушает запрет соседних одинаковых, пока между ними хотя бы один разряд.

После решения отдельно убедитесь в трёх пунктах: разрядность соблюдена, у каждой соседней пары разные цифры, все дополнительные условия выполнены. Если решение содержит 0 слева, его надо убрать, даже когда другие проверки верны.

Особые случаи, которые нужно аргументировать

Ноль в наборе разрешён и иногда необходим, но его нельзя поставить в самый левый разряд. Например, среди цифр {0, 2} трёхзначное чередующееся число 202 подходит, а запись 020 не образует трёхзначного числа. При дальнейшем чередовании число 2020 тоже допустимо: ни одна пара соседних цифр не повторяется, хотя ноль встречается дважды.

Не путайте проверку только соседей с запретом повторить первую цифру в последнем разряде. В четырёхзначной записи 1231 равны первая и последняя цифры, но они не соседние; поэтому такое совпадение не противоречит основному правилу. Однако если задача дополнительно требует, чтобы крайние цифры были разными, эту запись придётся исключить уже по дополнительному условию.

Если выбор разрядов приводит к тупику, это нормальная часть доказательства. Например, из единственной доступной цифры 7 нельзя составить даже двузначное число с разными соседними цифрами. Для набора из двух цифр длина может быть любой, но после выбора первой все следующие позиции вынужденно чередуются. Для набора из трёх цифр число веток увеличивается: на первом шаге несколько возможностей, на каждом следующем — все цифры, кроме предыдущей.

Как оформить аргумент о полноте: укажите допустимые первые разряды, для каждого выпишите варианты продолжения и объясните, по какому признаку отсеяны остальные. Формулировка «я нашёл четыре числа» не равна доказательству, что пятого нет. Напротив, систематический перебор по порядку разрядов охватывает каждую возможную запись ровно один раз. Такое объяснение особенно важно там, где ответ состоит из нескольких чисел.