Определение всех подходящих чисел с фиксированной цифрой в середине записи — диагностика ошибок, 5 класс

Маршрут: от простого перебора к исправлению чужого решения

В трёхзначном числе □7□ известна цифра десятков; в пятизначном ab4ba фиксируется средний, третий разряд. Число обязано сохранять указанную середину, а первый разряд не может быть нулём. Все остальные ограничения даны непосредственно в карточках.

Ступень 1. Лёгкий старт — четыре задачи

1. В записи □4□ обе крайние цифры выбираются из {1, 2, 3, 4} (повтор разрешён), и крайние цифры в сумме дают 5. Перечислите все подходящие трёхзначные числа.
2. В записи □6□ обе крайние цифры выбираются из {1, 2, 3} (повтор разрешён), и цифра сотен больше цифры единиц. Перечислите все подходящие трёхзначные числа.
3. В записи □5□ обе крайние цифры выбираются из {0, 2, 4, 6} (повтор разрешён), и крайние цифры в сумме дают 6. Перечислите все подходящие трёхзначные числа.
4. В записи □7□ обе крайние цифры выбираются из {1, 3, 5} (повтор разрешён), и крайние цифры одинаковы. Перечислите все подходящие трёхзначные числа.

Ступень 2. «Ошибка или верно?» — восемь диагностических карточек

В этих задачах ученический ответ приведён специально для проверки. Важно отличать подходящее число от полного перечня: список может содержать только верные числа и всё равно быть неполным.

1. В записи □8□ обе крайние цифры выбираются из {1, 2, 3} (повтор разрешён), и сумма крайних цифр равна 4. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 183, 282. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
2. В записи □2□ обе крайние цифры выбираются из {1, 4, 7} (повтор разрешён), и цифра сотен меньше цифры единиц. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 124, 127. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
3. В записи □3□ обе крайние цифры выбираются из {0, 2, 5} (повтор разрешён), и сумма крайних цифр равна 7. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 235. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
4. В записи □6□ обе крайние цифры выбираются из {1, 2, 4} (повтор разрешён), и крайние цифры различны. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 162, 164, 261, 264, 461. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
5. В записи □1□ обе крайние цифры выбираются из {2, 3, 5} (повтор разрешён), и сумма крайних цифр равна 7. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 215. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
6. В записи □0□ обе крайние цифры выбираются из {1, 3, 4} (повтор разрешён), и цифра сотен больше цифры единиц. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 301, 401. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
7. В записи □9□ обе крайние цифры выбираются из {0, 5, 8} (повтор разрешён), и сумма крайних цифр равна 8. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 890, 890. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.
8. В записи □4□ обе крайние цифры выбираются из {1, 2, 3} (повтор разрешён), и крайние цифры совпадают. Перечислите все подходящие трёхзначные числа. Ученик написал: 141, 242. Верен ли его полный список? Найдите ошибку или пропуск.

Ступень 3. Закрепление — четыре пятизначные записи

Условие вида ab4ba требует одинаковых крайних цифр и одинаковых цифр во втором и четвёртом разрядах. Это палиндромная конструкция; её центр фиксирован. Ищите пары a и b, а не перебирайте все числа от 10 000 до 99 999.

1. Найдите все пятизначные числа вида ab3ba: a ∈ {1, 2, 4}, b ∈ {0, 2, 5}, сумма цифр равна 11. Почему нельзя менять местами a и b без проверки?
2. Найдите все пятизначные числа вида ab6ba: a ∈ {1, 3, 5}, b ∈ {0, 1, 2}, сумма цифр равна 10. Почему нельзя менять местами a и b без проверки?
3. Найдите все пятизначные числа вида ab4ba: a ∈ {2, 3, 6}, b ∈ {1, 4, 5}, сумма цифр равна 18. Почему нельзя менять местами a и b без проверки?
4. Найдите все пятизначные числа вида ab8ba: a ∈ {1, 4, 7}, b ∈ {0, 2, 6}, сумма цифр равна 20. Почему нельзя менять местами a и b без проверки?

Ступень 4. Итоговая проверка

1. Финиш: перечислите все трёхзначные числа □5□, где крайние цифры из {0, 1, 2, 3, 4}, и сумма крайних цифр равна 4. Укажите количество и поясните перебор.
2. Финиш: перечислите все трёхзначные числа □2□, где крайние цифры из {1, 2, 3, 4}, и произведение крайних цифр равно 6. Укажите количество и поясните перебор.

Разбор и верные ответы: старт

1. Ответ: 144, 243, 342, 441 (4 чисел). На первой позиции ноль запрещён; середина всегда 4.
2. Ответ: 261, 361, 362 (3 чисел). На первой позиции ноль запрещён; середина всегда 6.
3. Ответ: 254, 452, 650 (3 чисел). На первой позиции ноль запрещён; середина всегда 5.
4. Ответ: 171, 373, 575 (3 чисел). На первой позиции ноль запрещён; середина всегда 7.

Разбор ошибок в списках

1. Правильный полный список: 183, 282, 381. Ученик не указал 381. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
2. Правильный полный список: 124, 127, 427. Ученик не указал 427. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
3. Правильный полный список: 235, 532. Ученик не указал 532. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
4. Правильный полный список: 162, 164, 261, 264, 461, 462. Ученик не указал 462. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
5. Правильный полный список: 215, 512. Ученик не указал 512. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
6. Правильный полный список: 301, 401, 403. Ученик не указал 403. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
7. Правильный полный список: 890. Ученик повторил один и тот же ответ, посчитав его дважды. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.
8. Правильный полный список: 141, 242, 343. Ученик не указал 343. Для проверки подставьте крайние цифры в дополнительное условие.

Решения пятизначных заданий

1. 22322, 40304. Проверяем равенство 2a + 2b + 3 = 11 для каждой разрешённой пары (a, b). При перестановке a и b нужно снова проверить принадлежность их разным заданным наборам цифр.
2. 11611. Проверяем равенство 2a + 2b + 6 = 10 для каждой разрешённой пары (a, b). При перестановке a и b нужно снова проверить принадлежность их разным заданным наборам цифр.
3. 25452, 34443, 61416. Проверяем равенство 2a + 2b + 4 = 18 для каждой разрешённой пары (a, b). При перестановке a и b нужно снова проверить принадлежность их разным заданным наборам цифр.
4. 42824. Проверяем равенство 2a + 2b + 8 = 20 для каждой разрешённой пары (a, b). При перестановке a и b нужно снова проверить принадлежность их разным заданным наборам цифр.

Финишный ключ

1. 153, 252, 351, 450, всего 4. Условие проверено у каждой пары крайних цифр; первая не нулевая.
2. 223, 322, всего 2. Условие проверено у каждой пары крайних цифр; первая не нулевая.

Как исправить типичные затруднения

• Если в ответе не все числа: упорядочивайте перебор по цифре сотен, затем по цифре единиц.
• Если появилось число с нулём в начале: это не трёхзначное число; начальный ноль исключается ещё до проверки суммы.
• Если в пятизначном числе перепутаны разряды: запишите шаблон a–b–центр–b–a и только после этого подставляйте цифры.
• Если объявлен правильным неполный ответ: проверьте, сколько пар (a, b) удовлетворяют условию, и сравните с количеством чисел в списке.