Определение всех подходящих чисел по неравенствам между соседними разрядами — упражнения разной сложности, 5 класс

Памятка перед работой

В записи abc буква a обозначает сотни, b — десятки, c — единицы. Для четырёхзначного abcd буквы обозначают тысячи, сотни, десятки и единицы. Нулевая цифра в начале натурального числа недопустима; внутри записи нуль разрешён.

Сравнения проверяются слева направо. Например, условие a < b > c означает сразу два факта: a меньше b и b больше c. Это не сравнение всего числа с другой величиной. Знак ≤ допускает равенство, а < — нет. Если дано множество допустимых цифр, брать остальные нельзя.

Чтобы перечислить все ответы, сначала выберите возможную первую цифру, затем переберите подходящие соседние цифры. Каждый вариант проверяйте всеми условиями. Если ни один не подошёл, ответ — «таких чисел нет». В таблицу ответов записывайте числа по возрастанию.

Образец. Для трёхзначного числа a=2, b∈{3,4}, c∈{1,2} и a<b>c получаются 231, 232, 241, 242. Сначала проверяют 2<3 и 3>1, затем переходят к следующему c. Так не теряется ни один вариант.

Вариант 1 — трёхзначные числа

Выполните задания 1–9. Здесь меняются направления сравнений, границы цифр и дополнительное условие на единицы. Некоторые пункты специально проверяют внимание к строгому знаку «<».

1. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a < b; b > c; a ∈ {2, 3}; b ∈ {3, 4, 5}; c ∈ {1, 2, 3}.
2. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a < b; b ≥ c; a ∈ {4}; b ∈ {5, 6, 7}; c ∈ {2, 3, 4}.
3. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a > b; b > c; a ∈ {3, 4}; b ∈ {2, 3}; c ∈ {0, 1, 2}.
4. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a ≤ b; b < c; a ∈ {2, 3}; b ∈ {2, 3, 4}; c ∈ {5, 6}.
5. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a > b; b ≥ c; a ∈ {5}; b ∈ {3, 4}; c ∈ {1, 2}.
6. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a < b; b ≠ c; a ∈ {1, 2}; b ∈ {4, 5}; c ∈ {3, 4}.
7. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a ≥ b; b ≤ c; a ∈ {6}; b ∈ {5, 6}; c ∈ {5, 6}.
8. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a < b; b > c; a ∈ {2, 3}; b ∈ {4, 5}; c ∈ {2, 3}; последняя цифра чётная.
9. Найдите все 3-значные числа abc, для которых a < b; b > c; a ∈ {7}; b ∈ {6, 7}; c ∈ {1, 2, 3}.

Вариант 2 — четырёхзначные числа

В заданиях 10–18 сначала выпишите допустимые пары соседних разрядов, затем достройте запись до числа. Для последнего задания удобно начать с разряда единиц.

10. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a < b; b > c; c < d; a ∈ {2, 3}; b ∈ {3, 4}; c ∈ {1, 2}; d ∈ {3, 4}.
11. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a ≥ b; b > c; c ≥ d; a ∈ {4}; b ∈ {3, 4}; c ∈ {2, 3}; d ∈ {1, 2}.
12. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a < b; b < c; c < d; a ∈ {1, 2}; b ∈ {2, 3}; c ∈ {3, 4}; d ∈ {4, 5}.
13. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a < b; b > c; c < d; a ∈ {3}; b ∈ {4, 5}; c ∈ {2, 3}; d ∈ {5, 6}.
14. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a ≥ b; b ≤ c; c > d; a ∈ {5}; b ∈ {4, 5}; c ∈ {4, 5}; d ∈ {3, 4}.
15. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a < b; b > c; c < d; a ∈ {2, 3}; b ∈ {5}; c ∈ {1, 2}; d ∈ {4, 5}; сумма цифр чётная.
16. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a ≤ b; b ≥ c; c ≥ d; a ∈ {1, 2}; b ∈ {2, 3}; c ∈ {2, 3}; d ∈ {1, 2}.
17. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a < b; b > c; c > d; a ∈ {6}; b ∈ {6, 7}; c ∈ {4, 5}; d ∈ {2, 3}.
18. Найдите все 4-значные числа abcd, для которых a < b; b > c; c < d; a ∈ {2}; b ∈ {4, 5}; c ∈ {1, 2}; d ∈ {3, 4}; число оканчивается на 4.

Подробный ключ для учителя

1. 231, 232, 241, 242, 243, 251, 252, 253, 341, 342, 343, 351, 352, 353. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

2. 452, 453, 454, 462, 463, 464, 472, 473, 474. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

3. 320, 321, 420, 421, 430, 431, 432. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

4. 225, 226, 235, 236, 245, 246, 335, 336, 345, 346. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

5. 531, 532, 541, 542. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

6. 143, 153, 154, 243, 253, 254. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

7. 655, 656, 666. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы.

8. 242, 252, 342, 352. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы. Дополнительное условие применяется к уже проверенному сочетанию цифр.

9. таких чисел нет. Начинайте с сотен, отбрасывая неподходящие десятки и единицы. Возможные первые цифры не дают допустимого продолжения.

10. 2313, 2314, 2323, 2324, 2413, 2414, 2423, 2424, 3413, 3414, 3423, 3424. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

11. 4321, 4322, 4421, 4422, 4431, 4432. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

12. 1234, 1235, 1245, 1345, 2345. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

13. 3425, 3426, 3435, 3436, 3525, 3526, 3535, 3536. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

14. 5443, 5453, 5454, 5553, 5554. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

15. 2514, 2525, 3515, 3524. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения. Дополнительное условие применяется к уже проверенному сочетанию цифр.

16. 1221, 1222, 1321, 1322, 1331, 1332, 2221, 2222, 2321, 2322, 2331, 2332. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

17. 6742, 6743, 6752, 6753. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения.

18. 2414, 2424, 2514, 2524. Проверьте разрешённые значения каждой цифры и три соседних сравнения. Дополнительное условие применяется к уже проверенному сочетанию цифр.

Как оценить результаты

За каждый пункт дайте 1 балл только при полном списке без посторонних чисел. Если перечислены правильные числа, но пропущено хотя бы одно, попросите показать порядок перебора и вернуть работу на исправление. Максимум — 18 баллов. Отдельно оцените умение объяснить, почему список исчерпан, а не только умение подобрать примеры.

Быстрая самопроверка: у каждого записанного числа правильное количество цифр, каждая цифра входит в разрешённый набор, все соседние сравнения верны, а особое условие не забыто. Одного нарушенного требования достаточно, чтобы исключить число.