Проверка разрядных ограничений по сумме цифр и одной известной цифре — тематические карточки для 5 класса

Исследовательская задача: почему подходящего числа может не быть?

В условии сказано: задумано трёхзначное число, цифра десятков — 4, сумма цифр — 13. Сотни берутся из набора {2, 3, 4, 5, 6}, а единицы должны быть нечётными. Можно ли написать все подходящие числа, не проверяя подряд каждое число от 100 до 999? Попробуйте сделать это до чтения вывода.

Обозначим разряды буквами a, b, c. Мы знаем, что a + b + c = 13 и b = 4, значит a + c = 9. Если сотни равны 2, единицы должны быть 7; если сотни равны 4 — единицы 5; если сотни равны 6 — единицы 3. Эти три случая проходят проверку нечётности. Иные разрешённые сотни дают чётные единицы. Искомые числа: 247, 445, 643.

Сформулируйте правило своими словами

Закончите высказывание: «Если известна сумма цифр S и одна цифра b, то сумма остальных цифр равна …». Почему в трёхзначном числе сотни не могут быть нулём? Почему для двузначной суммы 19 не обязательно существует подходящее число?

Проверьте правило формулой a + c = S − b. При этом каждая цифра от 0 до 9, а сотни от 1 до 9. Условие о чётности, наборе разрешённых цифр или месте известной цифры тоже обязательно. Сама по себе верная сумма ещё не гарантирует подходящего числа.

Контрпример: верная сумма, неверное число

Ученик написал: «Для суммы 13 и десятков 4 подходит 346». Действительно, 3 + 4 + 6 = 13, но цифра единиц 6 чётная, а требовалась нечётная. Получилась верная сумма и неверный ответ. Другой ученик предложил 49 — у него две цифры, а требуется три. При проверке нужно учитывать каждое ограничение, а не только уравнение на сумму.

Четырнадцать заданий для исследования

Сначала выполните пункты 1–8 (трёхзначные записи), затем 9–14 (четырёхзначные). В решении каждого пункта покажите остаток суммы после вычитания известной цифры. Для примеров без решений объясните невозможность, а не ограничивайтесь пустым списком.

1. Выпишите все числа: 3-значное число, сумма цифр 13, цифра десятков равна 4; a ∈ {2, 3, 4, 5, 6}; c ∈ {1, 3, 5, 7, 9}.
2. Возможны ли такие числа? Обоснуйте: 3-значное число, сумма цифр 5, цифра десятков равна 7; a ∈ {1, 2, 3}; c ∈ {0, 1, 2, 3}.
3. Выпишите все числа: 3-значное число, сумма цифр 12, цифра десятков равна 2; a ∈ {3, 4, 5, 6}; c ∈ {2, 4, 6, 8}.
4. Сколько таких чисел существует? 3-значное число, сумма цифр 14, цифра десятков равна 6; a ∈ {2, 3, 4, 5, 6}; c ∈ {1, 3, 5, 7}.
5. Ученик предложил число 536. Проверьте его по всем ограничениям: 3-значное число, сумма цифр 14, цифра десятков равна 3; a ∈ {4, 5, 6}; c ∈ {5, 6, 7, 8}.
6. Ученик предложил число 638. Проверьте его по всем ограничениям: 3-значное число, сумма цифр 14, цифра десятков равна 3; a ∈ {4, 5, 6}; c ∈ {5, 6, 7, 8}.
7. Возможны ли такие числа? Обоснуйте: 3-значное число, сумма цифр 12, цифра десятков равна 5; a ∈ {2, 3, 4}; c ∈ {2, 3, 4}.
8. Выпишите все числа: 3-значное число, сумма цифр 8, цифра десятков равна 0; a ∈ {3, 4, 5, 6, 7}; c ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
9. Выпишите все числа: 4-значное число, сумма цифр 13, цифра сотен равна 3; a ∈ {1, 2, 3}; c ∈ {1, 2}; d ∈ {4, 5, 6}.
10. Сколько таких чисел существует? 4-значное число, сумма цифр 19, цифра сотен равна 5; a ∈ {2, 3, 4}; c ∈ {3, 4, 5}; d ∈ {6, 7, 8}.
11. Возможны ли такие числа? Обоснуйте: 4-значное число, сумма цифр 10, цифра сотен равна 4; a ∈ {2, 3}; c ∈ {1, 2, 3}; d ∈ {1, 2, 3}.
12. Выпишите все числа: 4-значное число, сумма цифр 18, цифра сотен равна 6; a ∈ {2, 3, 4}; c ∈ {2, 4, 6}; d ∈ {4, 6, 8}.
13. Ученик предложил число 4256. Проверьте его по всем ограничениям: 4-значное число, сумма цифр 17, цифра сотен равна 2; a ∈ {3, 4, 5}; c ∈ {4, 5, 6}; d ∈ {4, 5, 6}.
14. Ученик предложил число 5246. Проверьте его по всем ограничениям: 4-значное число, сумма цифр 17, цифра сотен равна 2; a ∈ {3, 4, 5}; c ∈ {4, 5, 6}; d ∈ {4, 5, 6}.

Ключ и проверка гипотез

1. 247, 445, 643. После вычитания известной цифры 4 сумма остальных должна быть 9. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

2. Нет. Требуемая сумма невозможна при заданных цифрах. После вычитания известной цифры 7 сумма остальных должна быть -2. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

3. 426, 624. После вычитания известной цифры 2 сумма остальных должна быть 10. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

4. 2 (подходят: 365, 563). После вычитания известной цифры 6 сумма остальных должна быть 8. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

5. Подходит. После вычитания известной цифры 3 сумма остальных должна быть 11. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

6. Не подходит: сумма цифр равна 17, а не 14. После вычитания известной цифры 3 сумма остальных должна быть 11. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

7. Да: 354, 453. После вычитания известной цифры 5 сумма остальных должна быть 7. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

8. 305, 404, 503, 602, 701. После вычитания известной цифры 0 сумма остальных должна быть 8. Подберите сотни и вычислите недостающие единицы; запретите единицы вне множества.

9. 2326, 3316, 3325. После вычитания известной цифры 3 сумма остальных должна быть 10. Перебирайте разрешённые тысячи и десятки, затем вычисляйте единицы.

10. 7 (подходят: 2548, 2557, 3538, 3547, 3556, 4537, 4546). После вычитания известной цифры 5 сумма остальных должна быть 14. Перебирайте разрешённые тысячи и десятки, затем вычисляйте единицы.

11. Да: 2413, 2422, 2431, 3412, 3421. После вычитания известной цифры 4 сумма остальных должна быть 6. Перебирайте разрешённые тысячи и десятки, затем вычисляйте единицы.

12. 2628, 2646, 2664, 4626, 4644. После вычитания известной цифры 6 сумма остальных должна быть 12. Перебирайте разрешённые тысячи и десятки, затем вычисляйте единицы.

13. Подходит. После вычитания известной цифры 2 сумма остальных должна быть 15. Перебирайте разрешённые тысячи и десятки, затем вычисляйте единицы.

14. Подходит. После вычитания известной цифры 2 сумма остальных должна быть 15. Перебирайте разрешённые тысячи и десятки, затем вычисляйте единицы.

Проверка на новое условие

Представьте, что известная цифра поменялась с 4 на 8, а требуемая сумма осталась 5. Можно ли спасти задачу изменением остальных двух цифр? Нет: даже наименьшее трёхзначное число с десятками 8 имеет сумму цифр не меньше 1 + 8 + 0 = 9. Такой контрпример показывает, что проверку существования лучше выполнить до полного перебора.

Для ученика полезно записывать не только ответ, но и границы. Например, если четырёхзначное число начинается с 3 и имеет сотни 5, сумма двух оставшихся цифр при общей сумме 19 обязана быть 11. Это возможно (2 + 9), но если разрешены только цифры от 0 до 4, то невозможно: максимум 4 + 4 = 8.

Итог исследовательского урока: сначала вычитаем известную цифру из общей суммы, затем определяем диапазон допустимых значений оставшихся разрядов, после этого проверяем каждое найденное число на все дополнительные условия. Объяснение невозможности — полноценный математический результат.