Проверка разрядных ограничений с фиксированной цифрой в середине записи: карточки с ответами, 5 класс

Что значит «средняя цифра»

У трёхзначного числа abc средняя цифра — b, то есть десятки. У пятизначного числа abcde средняя цифра — c, то есть сотни. Считайте позиции слева, включая нули внутри записи. У четырёхзначного числа две центральные позиции, поэтому для этой работы выбраны только трёх- и пятизначные числа: условие «в середине» здесь однозначно.

Запись 2_4 при известной средней цифре 7 означает 274, а не 247. При пятизначном числе вида 31_05 и средней цифре 8 получаем 31805. После подстановки важно проверить и остальные разрешённые цифры: фиксированная середина — только первое ограничение.

Уровень 1 — три цифры, один фиксированный разряд

Задания 1–8 учат сохранять середину и перебирать крайние разряды. В пунктах со словом «все» нельзя приводить только пару примеров. В пунктах на проверку предложенного числа отдельно проверьте набор разрешённых сотен, известный десяток и единицы.

1. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 4. сотни ∈ {2, 3, 5}; единицы ∈ {1, 2}. Выпишите все подходящие числа.
2. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 0. сотни ∈ {1, 4, 7}; единицы ∈ {0, 2, 4, 6, 8}. Сколько подходящих чисел существует?
3. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 5. сотни ∈ {3, 4, 6, 7}; единицы ∈ {1, 2, 3, 4}. цифра сотен больше цифры единиц. Выпишите все подходящие числа.
4. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 8. сотни ∈ {1, 2, 3}; единицы ∈ {7, 8, 9}. цифра сотен меньше цифры единиц. Сколько подходящих чисел существует?
5. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 2. сотни ∈ {4, 5, 6}; единицы ∈ {3, 4, 5}. сумма крайних цифр равна 9. Выпишите все подходящие числа.
6. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 6. сотни ∈ {2, 3, 4}; единицы ∈ {4, 5, 6}. Подходит ли число 365? Проверьте каждое требование.
7. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 6. сотни ∈ {3, 4, 5}; единицы ∈ {1, 2, 3}. Подходит ли число 467? Проверьте каждое требование.
8. Рассмотрите 3-значные числа, у которых средняя (2-я слева) цифра равна 9. сотни ∈ {5, 6, 7}; единицы ∈ {1, 2, 3}. цифра сотен вдвое больше единиц. Выпишите все подходящие числа.

Уровень 2 — пять цифр без перебора наугад

В заданиях 9–16 фиксированы сотни. Остаются четыре позиции: десятки тысяч, тысячи, десятки, единицы. Например, при записи 2 или 4 в начале и двух вариантах каждой из трёх других свободных позиций получится 2 × 2 × 2 × 2 = 16 сочетаний, если других условий нет. Проверяйте, что цифра в середине никогда не меняется.

9. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 3. десятки тысяч ∈ {2, 4}; тысячи ∈ {1, 2}; десятки ∈ {5, 6}; единицы ∈ {0, 1, 2}. Сколько подходящих чисел существует?
10. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 0. десятки тысяч ∈ {1, 2, 3}; тысячи ∈ {2, 4}; десятки ∈ {1, 3}; единицы ∈ {3, 5}. Найдите наименьшее и наибольшее подходящее число.
11. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 7. десятки тысяч ∈ {5, 6}; тысячи ∈ {1, 2, 3}; десятки ∈ {2, 3}; единицы ∈ {4, 6}. цифра тысяч меньше цифры десятков. Сколько подходящих чисел существует?
12. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 5. десятки тысяч ∈ {2, 3}; тысячи ∈ {4, 6}; десятки ∈ {2, 4}; единицы ∈ {0, 2, 4}. Найдите наименьшее и наибольшее подходящее число.
13. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 2. десятки тысяч ∈ {3, 4}; тысячи ∈ {5, 7}; десятки ∈ {4, 6}; единицы ∈ {1, 3}. последняя цифра нечётная. Выпишите все подходящие числа.
14. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 8. десятки тысяч ∈ {2, 3}; тысячи ∈ {1, 2}; десятки ∈ {4, 5}; единицы ∈ {6, 7}. сумма первой и последней цифр равна 9. Сколько подходящих чисел существует?
15. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 1. десятки тысяч ∈ {4}; тысячи ∈ {2, 3}; десятки ∈ {3, 4}; единицы ∈ {5, 6}. Подходит ли число 42135? Проверьте каждое требование.
16. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 1. десятки тысяч ∈ {4}; тысячи ∈ {2, 3}; десятки ∈ {3, 4}; единицы ∈ {5, 6}. Подходит ли число 43146? Проверьте каждое требование.

Уровень 3 — условия в несколько шагов

В последних восьми заданиях нужно сначала заполнить среднюю позицию, затем применить ограничение на сравнение или сумму цифр, после чего выбрать искомые числа. Полезно делать черновую строку вида «_ _ 4 _ _» и постепенно заполнять слева направо. Если проверяется чётность числа, решающее значение имеет его последняя цифра.

17. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 4. десятки тысяч ∈ {2, 3}; тысячи ∈ {1, 2, 3}; десятки ∈ {5, 6}; единицы ∈ {7, 8}. сумма всех цифр равна 19. Найдите наименьшее и наибольшее подходящее число.
18. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 6. десятки тысяч ∈ {3, 5}; тысячи ∈ {2, 4}; десятки ∈ {1, 2}; единицы ∈ {0, 2, 4, 6}. цифра тысяч больше цифры десятков. Сколько подходящих чисел существует?
19. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 9. десятки тысяч ∈ {2, 3}; тысячи ∈ {1, 2}; десятки ∈ {3, 4}; единицы ∈ {1, 2}. первая цифра больше последней. Найдите наименьшее и наибольшее подходящее число.
20. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 0. десятки тысяч ∈ {6, 7}; тысячи ∈ {2, 3}; десятки ∈ {4, 5}; единицы ∈ {0, 5}. сумма цифр должна быть нечётной. Сколько подходящих чисел существует?
21. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 3. десятки тысяч ∈ {1, 2}; тысячи ∈ {6, 7}; десятки ∈ {2, 4}; единицы ∈ {1, 3}. число делится на 2. Выпишите все подходящие числа.
22. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 7. десятки тысяч ∈ {4, 5}; тысячи ∈ {1, 3}; десятки ∈ {3, 5}; единицы ∈ {2, 4}. цифра десятков больше цифры тысяч. Найдите наименьшее и наибольшее подходящее число.
23. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 5. десятки тысяч ∈ {2, 4}; тысячи ∈ {2, 3}; десятки ∈ {1, 2}; единицы ∈ {3, 5}. сумма цифр равна 15. Выпишите все подходящие числа.
24. Рассмотрите 5-значные числа, у которых средняя (3-я слева) цифра равна 2. десятки тысяч ∈ {7, 8}; тысячи ∈ {3, 5}; десятки ∈ {1, 2}; единицы ∈ {4, 6}. первая цифра вдвое больше последней. Сколько подходящих чисел существует?

Проверенные ответы к трём уровням

1. 241, 242, 341, 342, 541, 542. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

2. 15; примеры: 100, 102, 104, 106, 108. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

3. 351, 352, 451, 452, 453, 651, 652, 653, 654, 751, 752, 753, 754. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

4. 9; примеры: 187, 188, 189, 287, 288. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

5. 425, 524, 623. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

6. Да: все условия выполнены. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

7. Нет: разрядная цифра вне разрешённого множества. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

8. 693. Средняя позиция — десятки; остальные две цифры проверяются по условию.

9. 24; примеры: 21350, 21351, 21352, 21360, 21361. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

10. наименьшее 12013, наибольшее 34035. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие. Любое меньшее 12013 или большее 34035 число при сохранении остальных условий не подходит.

11. 12; примеры: 51724, 51726, 51734, 51736, 52734. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

12. наименьшее 24520, наибольшее 36544. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие. Любое меньшее 24520 или большее 36544 число при сохранении остальных условий не подходит.

13. 35241, 35243, 35261, 35263, 37241, 37243, 37261, 37263, 45241, 45243, 45261, 45263, 47241, 47243, 47261, 47263. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

14. 8; примеры: 21847, 21857, 22847, 22857, 31846. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

15. Да: все условия выполнены. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

16. Да: все условия выполнены. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

17. наименьшее 21457, наибольшее 21457. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие. Любое меньшее 21457 или большее 21457 число при сохранении остальных условий не подходит.

18. 24; примеры: 32610, 32612, 32614, 32616, 34610. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

19. наименьшее 21931, наибольшее 32942. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие. Любое меньшее 21931 или большее 32942 число при сохранении остальных условий не подходит.

20. 8; примеры: 62045, 62050, 63040, 63055, 72040. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

21. подходящих чисел нет. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие. Множество решений пусто. Единицы разрешены лишь 1 или 3, поэтому число всегда нечётное, а требуется делимость на 2.

22. наименьшее 41732, наибольшее 53754. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие. Любое меньшее 41732 или большее 53754 число при сохранении остальных условий не подходит.

23. 22515, 23523, 42513. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

24. 4; примеры: 83214, 83224, 85214, 85224. Средняя позиция — сотни; сначала примените наборы цифр, затем дополнительное условие.

Разбор трёх сложных ситуаций

Задание 17. Здесь сначала фиксируем третью цифру 4. Дополнительная сумма 19 означает, что остальные четыре цифры должны давать 15. Включайте в перебор только разрешённые значения, иначе получится неверный минимум. Результат: наименьшее 21457, наибольшее 21457.

Задание 19. Здесь сотни — 9. При поиске предельных значений число сравнивается по цифрам слева направо; отдельно следует убедиться, что первая цифра строго больше последней. Результат: наименьшее 21931, наибольшее 32942.

Задание 23. При известной средней цифре 5 и общей сумме 15 на четыре свободных разряда остаётся 10. Не переставляйте цифры автоматически: для каждой позиции задан собственный разрешённый набор. Результат: 22515, 23523, 42513.

Как оценивать рассуждение

В каждом задании зафиксируйте два результата: готовое число или множество чисел и способ доказать полноту ответа. Если найдено подходящее число, но ученик не проверил среднюю цифру или нарушил заданный набор разрядов, решение нельзя считать законченным. Когда решений несколько, упорядочите их: так легче обнаружить пропуск.

При сравнении пятизначных чисел начинайте с десятков тысяч, затем смотрите тысячи, сотни, десятки и единицы. Фиксированная центральная цифра не делает крайние разряды равными и не задаёт сумму всех цифр, если такого условия нет. При проверке ограничения «средняя цифра равна …» не заменяйте его приблизительным правилом «цифра где-то в числе».

На печатной карточке можно закрыть ключ листом бумаги. После выполнения проверьте количество цифр, заданную середину, допустимые наборы и дополнительные ограничения — именно в таком порядке. Отдельно исправьте случаи, где результат угадан, но не доказано, что других чисел нет.