Поиск минимального и максимального числа по сумме цифр и одной известной цифре — математический практикум для 5 класса

Как найти крайние числа, не перебирая всё подряд

В каждом задании известны сумма цифр и одна из цифр с указанным разрядом. Нужно найти два разных крайних значения: наименьшее и наибольшее число, которое соблюдает все ограничения. Наименьшее число не всегда получается из возрастающего расположения цифр: известную цифру нельзя сдвигать в другой разряд, а первая цифра не может быть нулём.

Алгоритм: вычтите известную цифру из суммы; остаток распределите между свободными разрядами. Для минимума делайте самые левые свободные цифры как можно меньшими, но оставляйте справа достаточно мест, чтобы набрать остаток: на одну цифру приходится не больше 9. Для максимума, наоборот, наполняйте левые свободные разряды как можно больше. В конце проверьте сумму цифр и положение известной цифры.

Вариант А — только сумма и известный разряд

Решите задания 1–8, обменивайтесь ответами после каждого четвёртого пункта. Для каждого числа выпишите проверку суммы. Не переставляйте цифры наугад: если известны десятки, они обязаны остаться десятками и в минимуме, и в максимуме.

1. Найдите наименьшее и наибольшее 3-значные числа: цифра десятков равна 4, сумма всех цифр 13.
2. Найдите наименьшее и наибольшее 3-значные числа: цифра сотен равна 5, сумма всех цифр 14.
3. Найдите наименьшее и наибольшее 3-значные числа: цифра единиц равна 6, сумма всех цифр 13.
4. Найдите наименьшее и наибольшее 3-значные числа: цифра десятков равна 0, сумма всех цифр 8.
5. Найдите наименьшее и наибольшее 4-значные числа: цифра сотен равна 2, сумма всех цифр 15.
6. Найдите наименьшее и наибольшее 4-значные числа: цифра единиц равна 7, сумма всех цифр 18.
7. Найдите наименьшее и наибольшее 4-значные числа: цифра тысяч равна 4, сумма всех цифр 16.
8. Найдите наименьшее и наибольшее 5-значные числа: цифра десятков равна 6, сумма всех цифр 22.

Вариант Б — дополнительная граница

В пунктах 9–16 к той же задаче прибавляется условие: чётная или нечётная последняя цифра, разрешённый диапазон одного разряда. Теперь число, которое было крайним без добавочного условия, может перестать подходить. Сначала проверьте дополнительную границу, затем сравнивайте числа.

9. Найдите наименьшее и наибольшее 3-значные числа: цифра десятков равна 5, сумма всех цифр 12; число оканчивается чётной цифрой.
10. Найдите наименьшее и наибольшее 3-значные числа: цифра единиц равна 3, сумма всех цифр 10; цифра десятков не меньше 2.
11. Найдите наименьшее и наибольшее 4-значные числа: цифра десятков равна 4, сумма всех цифр 17; цифра единиц нечётная.
12. Найдите наименьшее и наибольшее 4-значные числа: цифра сотен равна 7, сумма всех цифр 15; цифра тысяч не больше 3.
13. Найдите наименьшее и наибольшее 4-значные числа: цифра единиц равна 0, сумма всех цифр 20; цифра десятков не больше 6.
14. Найдите наименьшее и наибольшее 5-значные числа: цифра тысяч равна 5, сумма всех цифр 23; цифра единиц чётная.
15. Найдите наименьшее и наибольшее 5-значные числа: цифра единиц равна 8, сумма всех цифр 23; цифра десятков не меньше 4.
16. Найдите наименьшее и наибольшее 5-значные числа: цифра сотен равна 0, сумма всех цифр 18; цифра тысяч не больше 3, а число оканчивается нечётной цифрой.

Ключ к обоим вариантам

1. Минимум — 148, максимум — 940. Проверка: 1 + 4 + 8 = 13; 9 + 4 + 0 = 13.

2. Минимум — 509, максимум — 590. Проверка: 5 + 0 + 9 = 14; 5 + 9 + 0 = 14.

3. Минимум — 166, максимум — 706. Проверка: 1 + 6 + 6 = 13; 7 + 0 + 6 = 13.

4. Минимум — 107, максимум — 800. Проверка: 1 + 0 + 7 = 8; 8 + 0 + 0 = 8.

5. Минимум — 1239, максимум — 9240. Проверка: 1 + 2 + 3 + 9 = 15; 9 + 2 + 4 + 0 = 15.

6. Минимум — 1197, максимум — 9207. Проверка: 1 + 1 + 9 + 7 = 18; 9 + 2 + 0 + 7 = 18.

7. Минимум — 4039, максимум — 4930. Проверка: 4 + 0 + 3 + 9 = 16; 4 + 9 + 3 + 0 = 16.

8. Минимум — 10669, максимум — 97060. Проверка: 1 + 0 + 6 + 6 + 9 = 22; 9 + 7 + 0 + 6 + 0 = 22.

9. Минимум — 156, максимум — 750. Проверка: 1 + 5 + 6 = 12; 7 + 5 + 0 = 12. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

10. Минимум — 163, максимум — 523. Проверка: 1 + 6 + 3 = 10; 5 + 2 + 3 = 10. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

11. Минимум — 1349, максимум — 9341. Проверка: 1 + 3 + 4 + 9 = 17; 9 + 3 + 4 + 1 = 17. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

12. Минимум — 1707, максимум — 3750. Проверка: 1 + 7 + 0 + 7 = 15; 3 + 7 + 5 + 0 = 15. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

13. Минимум — 5960, максимум — 9920. Проверка: 5 + 9 + 6 + 0 = 20; 9 + 9 + 2 + 0 = 20. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

14. Минимум — 15098, максимум — 95900. Проверка: 1 + 5 + 0 + 9 + 8 = 23; 9 + 5 + 9 + 0 + 0 = 23. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

15. Минимум — 10598, максимум — 92048. Проверка: 1 + 0 + 5 + 9 + 8 = 23; 9 + 2 + 0 + 4 + 8 = 23. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

16. Минимум — 10089, максимум — 93051. Проверка: 1 + 0 + 0 + 8 + 9 = 18; 9 + 3 + 0 + 5 + 1 = 18. Обе записи удовлетворяют дополнительному ограничению.

Почему это действительно минимум и максимум

Разберём первое задание. После вычитания известной цифры десятков 4 остаётся 9 на сотни и единицы. Для минимального трёхзначного числа сотни должны быть 1, тогда единицы 8: получаем 148. Для максимального сотни можно сделать 9, оставив единицы 0: получаем 940. Оба числа имеют десятки 4 и сумму цифр 13.

В задании с ненулевой дополнительной границей нельзя просто взять ответ из варианта А. Например, если единицы обязаны быть нечётными, то результат, заканчивающийся нулём, сразу исключается; ищем следующий возможный вариант, сохраняя и сумму, и известную цифру. Тот же подход работает с запретом на слишком большую цифру десятков или тысяч.

Взаимная проверка по четырём признакам

Партнёр проверяет: правильное количество цифр; известную цифру на правильном месте; точную сумму цифр; выполнение дополнительной границы, если она есть. После этого сравниваются крайние разряды — сначала самые старшие. Если два допустимых числа отличаются первой цифрой, меньшим будет число с меньшей первой цифрой вне зависимости от правого хвоста.

Выпишите на полях по одному неправильному «кандидату» и объясните, какое условие он нарушает. Это помогает отличать поиск предельного допустимого числа от случайной перестановки цифр. Если крайнее значение получено перебором, покажите, почему нельзя увеличить или уменьшить самый левый разряд, не нарушив сумму или известную позицию.