Проверка равенства двух выражений с заданным промежуточным итогом: математический практикум для 5 класса

Математический практикум для 5 класса: в каждой задаче дано не только предполагаемое равенство двух выражений, но и контрольный промежуточный результат. Нужно выяснить, можно ли доверять этому шагу, а затем независимо проверить итоговое равенство.

Тезис для проверки: «верный промежуточный шаг означает верное равенство»

Это утверждение ложно. Промежуточная операция может быть выполнена правильно, а итоговые выражения — иметь разные значения. Обратное тоже возможно: ошибочное подсказанное значение промежуточного действия не делает исходное равенство автоматически неверным. Проверять нужно два утверждения независимо.

Записывайте для каждого задания две пометки: К — верна ли контрольная подсказка, Р — верно ли итоговое равенство. Каждую пометку подкрепите вычислением. Вычисления выполняются с натуральными числами; знак «:» обозначает деление.

Утверждения для самостоятельного обоснования

Задача 1. Предполагается, что (18 + 12) × 4 = 6 × 20. Указанный промежуточный итог: 18 + 12 = 30. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 2. Предполагается, что (56 − 24) : 8 = 48 : 12. Указанный промежуточный итог: 56 − 24 = 30. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 3. Предполагается, что 9 × (15 − 7) = 80 − 8. Указанный промежуточный итог: 15 − 7 = 8. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 4. Предполагается, что (72 : 9) + 13 = 7 × 3. Указанный промежуточный итог: 72 : 9 = 8. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 5. Предполагается, что 6 × (14 + 5) = 100 + 14. Указанный промежуточный итог: 14 + 5 = 18. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 6. Предполагается, что (90 − 30) : 5 = 3 × 4. Указанный промежуточный итог: 90 − 30 = 60. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 7. Предполагается, что (7 + 8) × 6 = 100 − 10. Указанный промежуточный итог: 7 + 8 = 15. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 8. Предполагается, что (48 : 6) × 9 = 8 × 8. Указанный промежуточный итог: 48 : 6 = 8. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 9. Предполагается, что 5 × (22 − 9) = 4 × 16. Указанный промежуточный итог: 22 − 9 = 13. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 10. Предполагается, что (18 × 4) − 27 = 5 × 9. Указанный промежуточный итог: 18 × 4 = 72. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 11. Предполагается, что (63 : 7) + 31 = 4 × 10. Указанный промежуточный итог: 63 : 7 = 8. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Задача 12. Предполагается, что (84 : 7) + 19 = 5 × 6. Указанный промежуточный итог: 84 : 7 = 12. Проверьте подсказку, пересчитайте обе части и поясните вывод.

Почему способ двойной проверки работает

Знак равенства связывает конечные значения двух выражений. Он не говорит, каким способом ученик вычислял эти значения, и не делает чью-то промежуточную запись истинной. Чтобы доказать верность числового равенства, достаточно отдельно получить одинаковые значения обеих частей. Чтобы опровергнуть равенство, достаточно найти разные точные значения. Чтобы опровергнуть промежуточную подсказку, достаточно одного контрвычисления.

Например, в задаче 2 подсказка 56 − 24 = 30 неверна, потому что 56 − 24 = 32. Но само равенство может быть истинным: (56 − 24) : 8 = 32 : 8 = 4, а 48 : 12 = 4. Нельзя приписывать ошибку исходному математическому утверждению только потому, что в чьей-то записи встретился неверный промежуточный результат.

Ключ: истинность подсказки и равенства

Разбор особых случаев и контрпримеров

В задаче 1 подсказка верна: 18 + 12 = 30. Тогда слева 30 × 4 = 120, справа 6 × 20 = 120. Оба утверждения верны, и любой корректный порядок вычислений приведёт к одному результату.

В задаче 5 дан неверный промежуточный итог: 14 + 5 не равно 18, верное значение — 19. Поэтому левая часть равна 6 × 19 = 114. Правая часть 100 + 14 = 114. Исходное равенство при ошибочной подсказке всё равно оказывается верным.

В задаче 8 контроль 48 : 6 = 8 точен, но (48 : 6) × 9 = 8 × 9 = 72, тогда как 8 × 8 = 64. Следовательно, К — «верно», Р — «неверно». Это прямой контрпример к тезису, вынесенному в начало практикума.

В задаче 9 значение скобки 22 − 9 = 13 получено верно, но итог слева 5 × 13 = 65, а справа 4 × 16 = 64. Разница равна одной единице: она невелика, но из-за неё знак равенства ставить нельзя.

В задаче 11 ошибочна подсказка 63 : 7 = 8: правильное частное 9. При этом левая часть (63 : 7) + 31 = 9 + 31 = 40, а правая 4 × 10 = 40. Этот пример показывает, почему исправление подсказки и проверку равенства следует записывать отдельно.

В задаче 12 подсказка 84 : 7 = 12 верна. Левая часть равна 12 + 19 = 31, правая — 5 × 6 = 30; равенство неверно. Проверка не допускает округлений или слов «почти равно»: 31 и 30 — разные натуральные числа.

В задаче 3 внутренняя разность равна 8; тогда 9 × 8 = 72 и 80 − 8 = 72. В задаче 4 первое действие 72 : 9 = 8, затем 8 + 13 = 21 и 7 × 3 = 21. В задаче 6 левая скобка равна 60, после деления на 5 получается 12, и справа 3 × 4 тоже равно 12. Во всех трёх случаях контрольные значения и конечные равенства подтверждаются независимо.

Задача 7 показывает ещё одну возможность: 7 + 8 = 15, затем 15 × 6 = 90; правая часть 100 − 10 = 90. Задача 10 проверяет не только скобки: 18 × 4 = 72, после вычитания 27 получается 45. Правая часть 5 × 9 равна 45. Оба примера служат проверкой верного промежуточного итога, но только после вычисления правой части равенство можно считать доказанным.

Дополнительные вопросы к доказательству

• Можно ли доказать равенство, не проверив приведённый чужой промежуточный шаг? Да: пересчитать обе части самостоятельно.
• Достаточно ли одной найденной ошибки в подсказке, чтобы отвергнуть итоговое равенство? Нет: сравнение требует значений обеих сторон.
• Может ли правильная подсказка сопровождать ложное равенство? Да: задачи 8, 9 и 12 дают контрпримеры.
• Почему при доказательстве не подходит приблизительная оценка «похоже на одно и то же»? Потому что для числового равенства значения должны совпасть точно.

Оценивание: в каждой задаче 1 балл за верную оценку подсказки, 1 — за значения обеих частей, 1 — за объяснённый вывод о равенстве. Максимум — 36 баллов. Если неверно только обоснование, попросите ученика выписать отдельно две проверяемые фразы: «подсказка верна» и «равенство верно».