Подбор дроби между двумя данными с соседними знаменателями: карточки с ответами, 5 класс

Математика, 5 класс. 15 заданий: диагностика пяти разных ошибок и тренировка дробей с соседними знаменателями.

Найдите чужую ошибку

Петя написал: «Между 2/5 и 3/6 нет дроби, потому что знаменатели отличаются всего на единицу». Это неверно. Сначала сравниваем значения дробей, а затем подбираем дробь строго между ними. Соседние знаменатели не делают значения соседними числами. Все знаменатели в заданиях положительные.

Способ проверки без десятичных приближений: a/b < c/d равносильно ad < bc. Если a/b < c/d, то дробь (a+c)/(b+d), называемая промежуточной по правилу сложения числителей и знаменателей, действительно лежит строго между ними. Её нельзя путать с суммой дробей.

Карточка А · исправьте пять ошибок

1. Между 2/5 и 3/6 найдите правильную дробь. Ученик предложил 4/7 и проверил только то, что это дробь.
2. Между 4/7 и 5/8 найдите правильную дробь. Ученик записал 5/8 и объявил правую границу внутренним значением.
3. Между 3/8 и 4/9 найдите правильную дробь. Ученик утверждает, что между этими дробями невозможно вставить ещё одну: знаменатели соседние.
4. Между 5/9 и 6/10 найдите правильную дробь. Ученик предложил 11/10 и решил, что новая дробь обязана быть больше обеих.
5. Между 6/11 и 7/12 найдите правильную дробь. Ученик выбрал 1/2 на основании того, что 1 меньше всех числителей.

Карточка Б · десять промежутков

Подберите по одной дроби строго между заданными. Дробь можно сократить, но при проверке используйте исходные значения границ; запись ответа не обязана иметь соседний знаменатель.

6. 1/4 < ? < 2/5. Докажите оба неравенства.
7. 3/7 < ? < 4/8. Докажите оба неравенства.
8. 2/7 < ? < 3/8. Докажите оба неравенства.
9. 5/8 < ? < 6/9. Докажите оба неравенства.
10. 4/9 < ? < 5/10. Докажите оба неравенства.
11. 7/12 < ? < 8/13. Докажите оба неравенства.
12. 3/10 < ? < 4/11. Докажите оба неравенства.
13. 6/13 < ? < 7/14. Докажите оба неравенства.
14. 5/12 < ? < 6/13. Докажите оба неравенства.
15. 8/15 < ? < 9/16. Докажите оба неравенства.

Разбор ошибок и ответы

1. 4/7 больше верхней границы 3/6: 4·6 = 24, 3·7 = 21. Нельзя проверять только, что число записано дробью. Например, подходит 5/11. 2/5 < 5/11 < 3/6: 2·11 = 22 < 25 = 5·5; 5·6 = 30 < 33 = 3·11.
2. 5/8 равно правой границе, а нужно строгое расположение между числами. Замените знак ≤ на <. Например, подходит 9/15. 4/7 < 9/15 < 5/8: 4·15 = 60 < 63 = 9·7; 9·8 = 72 < 75 = 5·15.
3. Дробь существует; число возможных дробей между любыми различными рациональными числами бесконечно. Соседство знаменателей не является запретом. Например, подходит 7/17. 3/8 < 7/17 < 4/9: 3·17 = 51 < 56 = 7·8; 7·9 = 63 < 68 = 4·17.
4. 11/10 больше единицы, тогда как обе исходные дроби меньше единицы. При сложении дробей нельзя сложить числители и знаменатели и назвать результат суммой. Например, подходит 11/19. 5/9 < 11/19 < 6/10: 5·19 = 95 < 99 = 11·9; 11·10 = 110 < 114 = 6·19.
5. 1/2 меньше 6/11, ведь 1·11 = 11 < 6·2 = 12. Положение кандидата нужно проверять относительно обеих границ. Например, подходит 13/23. 6/11 < 13/23 < 7/12: 6·23 = 138 < 143 = 13·11; 13·12 = 156 < 161 = 7·23.

Ключ к десяти промежуткам

6. 3/9. Проверка: 1·9 = 9 < 12; 3·5 = 15 < 18.
7. 7/15. Проверка: 3·15 = 45 < 49; 7·8 = 56 < 60.
8. 5/15. Проверка: 2·15 = 30 < 35; 5·8 = 40 < 45.
9. 11/17. Проверка: 5·17 = 85 < 88; 11·9 = 99 < 102.
10. 9/19. Проверка: 4·19 = 76 < 81; 9·10 = 90 < 95.
11. 15/25. Проверка: 7·25 = 175 < 180; 15·13 = 195 < 200.
12. 7/21. Проверка: 3·21 = 63 < 70; 7·11 = 77 < 84.
13. 13/27. Проверка: 6·27 = 162 < 169; 13·14 = 182 < 189.
14. 11/25. Проверка: 5·25 = 125 < 132; 11·13 = 143 < 150.
15. 17/31. Проверка: 8·31 = 248 < 255; 17·16 = 272 < 279.

Самопроверка: ответ не должен совпадать ни с одной границей; два строгих сравнения обязательны. Если промежуточная дробь сократилась, это не меняет её значения. Десятичную запись можно использовать лишь как дополнительную оценку, а не вместо точного доказательства.