Восстановление числителя из неравенства при заданной сумме числителя и знаменателя: диагностика ошибок, 5 класс

5 класс · числитель по двум неравенствам · 16 заданий. В этой карточке знаменатель неизвестен, но известна сумма двух частей дроби. Проверять нужно каждое условие, а не угадывать число по виду дроби.

Исходные данные: как читать таблицу

Пусть a — натуральный числитель, b — натуральный знаменатель. В каждой строке известна сумма a + b = S, дробь должна быть правильной (a < b), а оба сравнения — строгими. Отсюда b = S − a, поэтому после выбора a нельзя самостоятельно назначить другой знаменатель.

Например, при S = 21 и условии 1/3 < a/b < 1/2 пробуем a = 6: b = 15, получаем 6/15 = 2/5, оно подходит. При a = 7 знаменатель 14, а 7/14 = 1/2: это граница, её включать нельзя. При a = 5 дробь 5/16 меньше 1/3. Следовательно, единственный ответ — 6.

Памятка проверки: сначала вычислите b = S − a; затем убедитесь, что b > a > 0; проверьте левую и правую границы. Для сравнения положительных дробей разрешено сравнить произведения крест-накрест: a/b > p/q означает aq > bp.

Табличный практикум — задания 1–8

Заполните последний столбец всеми подходящими значениями a по возрастанию. В одном из пунктов подходящих значений нет; пустую клетку без объяснения оставлять нельзя.

Чтобы не пропустить варианты, начинайте с a = 1 и повышайте его до тех пор, пока a < S − a. Можно ускорить перебор, сначала отбросив числа, которые явно лежат за одной из границ.

Найдите противоречие — задания 9–13

Условие «равно границе» не означает «строго между границами». В каждом утверждении ниже есть ошибка. Покажите её не только словами, но и конкретным вычислением.

9. В таблицу занесли a = 3, не проверив нижнюю границу. Сумма a + b = 18. Объясните, какая проверка нарушена, и укажите все правильные числители.
10. Записали a = 8, хотя не проверили, что дробь меньше 1/2. Сумма a + b = 23. Объясните, какая проверка нарушена, и укажите все правильные числители.
11. Взяли a = 12, не проверив верхнюю границу. Сумма a + b = 30. Объясните, какая проверка нарушена, и укажите все правильные числители.
12. Включили a = 5, потому что дробь равна 1/4. Сумма a + b = 25. Объясните, какая проверка нарушена, и укажите все правильные числители.
13. Назвали a = 6 подходящим, сославшись только на нижнее неравенство. Сумма a + b = 20. Объясните, какая проверка нарушена, и укажите все правильные числители.

Самостоятельная проверка — задания 14–16

14. Найдите все натуральные a, для которых a + b = 26, a < b и 1/4 < a/b < 1/2. Убедитесь, что крайние числа не пропущены.
15. Найдите все натуральные a, для которых a + b = 38, a < b и 2/5 < a/b < 1/2. Убедитесь, что крайние числа не пропущены.
16. Найдите все натуральные a, для которых a + b = 22, a < b и 3/10 < a/b < 1/2. Убедитесь, что крайние числа не пропущены.

Ключ преподавателю и разбор каждого пункта

Общий короткий способ: если p/q < a/(S−a) < r/s, то для положительных знаменателей получаются неравенства (p+q)a > pS и (r+s)a < rS. Дополнительно a < S/2. Пересечение трёх условий даёт допустимые натуральные значения a. Это не замена проверке исходной дроби, а способ сократить перебор.

Таблица с объяснением

1. 5a > 18, 7a < 36; a < 18 − a. Получаем a: 4, 5.
2. 4a > 23, 3a < 23; a < 23 − a. Получаем a: 6, 7.
3. 7a > 60, 8a < 90; a < 30 − a. Получаем a: 9, 10, 11.
4. 6a > 27, 4a < 27; a < 27 − a. Получаем a: 5, 6.
5. 10a > 93, 3a < 31; a < 31 − a. Получаем a: 10.
6. 5a > 25, 4a < 25; a < 25 − a. Получаем a: 6.
7. 9a > 68, 10a < 102; a < 34 − a. Получаем a: 8, 9, 10.
8. 4a > 20, 7a < 40; a < 20 − a. Получаем a: нет решений.

Исправление ошибок

9. При a = 3 знаменатель b = 15, дробь 3/15 = 1/5; сравнение с границами 1/4 и 2/5 не выполнено. Верный перечень a: 4, 5.
10. При a = 8 знаменатель b = 15, дробь 8/15 = 8/15; сравнение с границами 1/3 и 1/2 не выполнено. Верный перечень a: 6, 7.
11. При a = 12 знаменатель b = 18, дробь 12/18 = 2/3; сравнение с границами 2/5 и 3/5 не выполнено. Верный перечень a: 9, 10, 11.
12. При a = 5 знаменатель b = 20, дробь 5/20 = 1/4; сравнение с границами 1/4 и 1/3 не выполнено. Верный перечень a: 6.
13. При a = 6 знаменатель b = 14, дробь 6/14 = 3/7; сравнение с границами 1/3 и 2/5 не выполнено. Верный перечень a: нет.

Заключительные задания

14. a = 6, 7, 8. Проверка ближайших значений выполняется подстановкой b = 26 − a: условие о сумме сохраняется автоматически.
15. a = 11, 12. Проверка ближайших значений выполняется подстановкой b = 38 − a: условие о сумме сохраняется автоматически.
16. a = 6, 7. Проверка ближайших значений выполняется подстановкой b = 22 − a: условие о сумме сохраняется автоматически.

Как оценивать: в табличной части засчитывайте только полный перечень, включая случай без решений. В диагностике ошибок важны две вещи: указана нарушенная граница и найден правильный список. В последних трёх задачах требуйте подстановку хотя бы наименьшего и наибольшего предложенного a.

Частая ловушка — забыть ограничение a < b или перепутать знак строгого сравнения. Из записи a + b = S самой по себе ещё не следует, что a можно брать равным нулю: по условию рассматриваются натуральные числитель и знаменатель.