Сравнение результата без точного вычисления при умножении на число меньше единицы — математический практикум для 5 класса

5 класс · два варианта · умножение на число меньше единицы

Два варианта для взаимной проверки

Если 0 < k < 1 и a > 0, то a × k < a. Умножение на положительный множитель сохраняет порядок: из a > b следует a × k > b × k. Если же одновременно меняются и число, и множитель, одного правила «меньше единицы» недостаточно: ищите преобразование в половину, четверть или равные произведения.

В заданиях нужно вставить один из знаков <, >, = и обосновать его без столбика и длинного точного вычисления. Учитель может разрешить краткую проверку для самоконтроля; она приведена в конце.

Вариант А · сравниваем по одному общему признаку

Опирайтесь на правило изменения положительного числа при умножении на число меньше единицы. Не вычисляйте всё подряд: сначала найдите общий множитель или одинаковую основу.

1. 8,4 × 0,6 □ 8,4. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
2. 5,2 × 0,9 □ 5,2 × 0,7. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
3. 7,5 × 0,4 □ 9 × 0,4. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
4. 10,8 × 0,25 □ 10,8 × 0,5. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
5. 0 × 0,6 □ 0. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
6. 3,4 × 0,8 □ 3,4. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
7. 6,6 × 0,3 □ 6,6 × 0,2. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
8. 2,5 × 0,6 □ 5 × 0,6. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
9. 7,3 × 0,1 □ 7,3 × 0,9. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.

Вариант Б · сравниваем двумя способами

Здесь в большинстве заданий изменились оба множителя. Ищите пару, в которой половина равна четверти, один множитель вдвое больше, а второй вдвое меньше, или одна часть явно меньше выбранного ориентира. Объяснение должно работать не только для конкретных чисел.

1. 4,8 × 0,5 □ 2,4 × 0,8. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
2. 9 × 0,4 □ 6 × 0,6. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
3. 2,5 × 0,8 □ 4 × 0,5. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
4. 7,2 × 0,25 □ 3,6 × 0,5. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
5. 3,2 × 0,9 □ 2,9 × 0,9. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
6. 4,4 × 0,5 □ 2,2 × 0,99. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
7. 1,8 × 0,4 □ 3,6 × 0,2. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
8. 5,6 × 0,75 □ 6,4 × 0,5. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.
9. 12,5 × 0,08 □ 10 × 0,1. Впишите знак и укажите правило, которое его доказывает.

Обмен листами: взаимная проверка

Ученик с вариантом А проверяет ответ соседа к любым двум номерам варианта Б, объясняя знак словесно; затем партнёры меняются ролями. По 1 баллу за каждый из девяти знаков и ещё по 1 баллу за внятное объяснение двух выбранных примеров. Ошибка в обосновании не исправляется простым переписыванием числа из ключа.

Полный разбор вариантов

А — ключ

1. 8,4 × 0,6 < 8,4. Число уменьшилось при умножении на 0,6. Контроль: 5,04 и 8,4.
2. 5,2 × 0,9 > 5,2 × 0,7. При одинаковом положительном числе больший множитель даёт большее произведение. Контроль: 4,68 и 3,64.
3. 7,5 × 0,4 < 9 × 0,4. При равных множителях сравните 7,5 и 9. Контроль: 3 и 3,6.
4. 10,8 × 0,25 < 10,8 × 0,5. Четверть меньше половины одного и того же числа. Контроль: 2,7 и 5,4.
5. 0 × 0,6 = 0. Ноль при умножении остаётся нулём. Контроль: 0 и 0.
6. 3,4 × 0,8 < 3,4. При 0,8 положительное число уменьшается. Контроль: 2,72 и 3,4.
7. 6,6 × 0,3 > 6,6 × 0,2. При общей положительной основе сравните 0,3 и 0,2. Контроль: 1,98 и 1,32.
8. 2,5 × 0,6 < 5 × 0,6. При одинаковом множителе число 5 больше 2,5. Контроль: 1,5 и 3.
9. 7,3 × 0,1 < 7,3 × 0,9. Одна десятая меньше девяти десятых. Контроль: 0,73 и 6,57.

Б — ключ

1. 4,8 × 0,5 > 2,4 × 0,8. Половина 4,8 равна 2,4, а 0,8 от 2,4 меньше самого 2,4. Контроль: 2,4 и 1,92.
2. 9 × 0,4 = 6 × 0,6. Оба произведения дают 36 десятых: 9 × 4 десятых и 6 × 6 десятых. Контроль: 3,6 и 3,6.
3. 2,5 × 0,8 = 4 × 0,5. Проверьте равенство через 80 % от 2,5 и половину 4. Контроль: 2 и 2.
4. 7,2 × 0,25 = 3,6 × 0,5. Четверть от 7,2 равна половине от 3,6. Контроль: 1,8 и 1,8.
5. 3,2 × 0,9 > 2,9 × 0,9. Общий множитель положителен; сравните исходные числа. Контроль: 2,88 и 2,61.
6. 4,4 × 0,5 > 2,2 × 0,99. Левая часть равна 2,2; правая часть чуть меньше 2,2. Контроль: 2,2 и 2,178.
7. 1,8 × 0,4 = 3,6 × 0,2. Удвоили первое число и одновременно уменьшили множитель вдвое. Контроль: 0,72 и 0,72.
8. 5,6 × 0,75 > 6,4 × 0,5. Три четверти от 5,6 сравните с половиной 6,4. Контроль: 4,2 и 3,2.
9. 12,5 × 0,08 = 10 × 0,1. Оба произведения равны единице: 12,5 × 8/100 = 1 и 10 × 1/10 = 1. Контроль: 1 и 1.

Неочевидные случаи и итог

Умножение на число меньше единицы не говорит, какое из двух разных произведений больше, если одновременно меняются оба множителя. Например, 4,8 × 0,5 = 2,4, а 2,4 × 0,8 = 1,92: второй множитель не спасает меньшую основу. При этом можно получить равенство: 7,2 × 0,25 = 3,6 × 0,5 = 1,8. Верный способ — доказать сравнение свойствами действия, а вычислением лишь проконтролировать вывод.