Нахождение площади по разбиению для фигуры с несколькими прямыми углами — задания с разбором, 5 класс

5 класс · Геометрия на клетчатой сетке. Прикладная геометрия: площадь Г-образных площадок по таблице размеров

Задача из школьного двора: сколько покрытия понадобится?

Для школьного двора выбрали три возможные Г-образные площадки. Их границы состоят только из горизонтальных и вертикальных отрезков, а в углах есть прямые углы. Каждый план мысленно помещается в большой прямоугольник шириной W и высотой H. Из его верхнего правого угла не входит в площадку прямоугольник шириной r и высотой t. Поэтому доступную для покрытия площадь можно находить не по периметру, а по разбиению на две непересекающиеся части.

Модель по разбиению: слева остаётся полоса шириной W − r и высотой H. Справа внизу — полоса шириной r и высотой H − t. Их площади складывают: (W − r) × H + r × (H − t). Альтернативный способ: W × H − r × t. Равенство результатов означает, что площадь не потеряна и не посчитана дважды.

Исходные данные трёх планов

Обратите внимание: r и t обозначают размеры отсутствующего верхнего правого прямоугольника. Остальная площадь остаётся частью школьного двора. Все величины измерены в метрах. Цена покрытия дана за квадратный метр; при расчёте стоимости её умножают на соответствующую площадь.

Разберём, как переводить данные таблицы в чертёж. Для плана А рисуем прямоугольник 18 на 12 м. От верхнего правого края откладываем влево 7 м и вниз 5 м: полученный угол отсутствует. Вертикальная левая часть имеет ширину 18 − 7 = 11 м и высоту 12 м. Справа остаётся нижняя полоса высотой 12 − 5 = 7 м. Эти два участка прилегают, но не пересекаются. Такое деление особенно удобно, когда рисунок выглядит сложнее обычного прямоугольника.

Перед вычислением стоимости стоит определить, что именно оплачивается. По условиям оплачивается укладка покрытия на готовой поверхности. Это площадь, а не длина бордюра по краю. Если бы требовалось установить ограждение, мы нашли бы периметр. Один и тот же план может требовать разных действий в зависимости от вопроса. Запишите на полях: площадь измеряют квадратными метрами, длину — метрами, цену всей работы — тенге.

Два метода расчёта площади полезны также для взаимной проверки. По таблице легко ошибиться и принять размеры выреза за длины оставшихся полос. Поэтому подпишите у каждого плана четыре исходных размера, а отдельно вычислите ширину левой полосы и высоту правой. Если метод вычитания и метод разбиения дали разные результаты, исправляйте сначала эти две производные величины. Не меняйте цены до завершения геометрической части задачи.

Двенадцать связанных вопросов

1. План А: найдите площадь левой вертикальной полосы шириной W − r и высотой H.
2. План А: найдите площадь нижней правой части шириной r и высотой H − t.
3. План А: сложите результаты двух полос. Какова площадь всей Г-образной площадки?
4. План А: проверьте найденную площадь вторым способом — вычитанием прямоугольника r × t из W × H.
5. План Б: вычислите площадь площадки способом «большой прямоугольник минус угол».
6. План В: найдите площадь двух непересекающихся частей и их сумму.
7. На сколько квадратных метров площадка А больше площадки Б?
8. Какой из планов даёт наименьшую площадь покрытия? Укажите её.
9. Сколько тенге потребуется на покрытие площадки А по указанной в таблице цене за 1 м²?
10. Сколько тенге потребуется на покрытие площадки Б? Объясните, почему умножаете на площадь, а не на периметр.
11. В плане В увеличили ширину выреза r на 1 м, не меняя остального. Чему стала равна площадь?
12. В плане А уменьшили высоту выреза t на 2 м. Насколько увеличилась площадь и какой стала новая площадь?

Разбор и ответы

1. (18 − 7) × 12 = 132 м².
2. 7 × (12 − 5) = 49 м².
3. 132 + 49 = 181 м².
4. 18 × 12 − 7 × 5 = 216 − 35 = 181 м².
5. 16 × 11 − 6 × 4 = 176 − 24 = 152 м².
6. (14 − 5) × 10 + 5 × (10 − 3) = 90 + 35 = 125 м².
7. 181 − 152 = 29 м².
8. План В: 125 м², поскольку 125 < 152 < 181.
9. 181 × 420 = 76020 тенге.
10. 152 × 390 = 59280 тенге.
11. 14 × 10 − (5 + 1) × 3 = 140 − 18 = 122 м². Площадь уменьшилась на 3 м².
12. Высота выреза становится 5 − 2 = 3 м. Новая площадь: 216 − 7 × 3 = 195 м². Увеличение составляет 14 м².

Проверка разумности полученных значений

Площадка не может быть больше охватывающего её прямоугольника: например, у плана А полный прямоугольник имеет площадь 216 м², а полезная часть — 181 м². Разность 35 м² ровно равна вырезу 7 × 5 м. Если при вычислении выходит площадь больше 216 м², нужно проверить знак операции или наличие перекрытия при разбиении.

При увеличении выреза площадь площадки уменьшается: дополнительные пустые квадратные метры нельзя покрыть материалом. При уменьшении выреза — увеличивается. Эту мысль можно использовать ещё до счёта, чтобы проверить направление изменения ответа. В задаче про деньги полезно сначала оценить порядок величины: покрыть около 180 м² по несколько сотен тенге — это десятки тысяч тенге, а не несколько сотен.

Для самостоятельного объяснения предложите ученику начертить план Б в тетради в условном масштабе, разделить его на два прямоугольника и подписать длины 10 м, 11 м, 6 м и 7 м. Тогда видно, почему сумма 110 + 42 совпадает с вычитанием 176 − 24. Это не случайное совпадение арифметики, а два описания одной и той же площади.