Нахождение площади по разбиению по текстовому описанию координат клеток: мини-практикум с ответами, 5 класс

5 класс · Геометрия на клетчатой сетке. Два варианта задач на площадь фигур по текстовым координатам

Два способа чтения геометрического чертежа по координатам

На клетчатой бумаге координаты позволяют описать фигуру без картинки. В каждой паре (x; y) первая координата показывает положение по горизонтали, вторая — по вертикали. Если две соседние вершины имеют одинаковую вторую координату, между ними горизонтальная сторона; если первую — вертикальная. Все границы упражнений проходят по линиям сетки, поэтому число квадратных клеток площади можно найти по обычным прямоугольникам.

Вариант А. Из большого прямоугольника вычитаем угол

В задачах 1–8 шесть вершин образуют фигуру с одним угловым прямоугольным вырезом. Найдите крайние левую и правую координаты, нижнюю и верхнюю; это размеры большого прямоугольника. Затем определите ширину и высоту отсутствующего верхнего правого участка. Его площадь надо вычесть, потому что он не принадлежит фигуре.

Пример: A(1; 1), B(10; 1), C(10; 6), D(7; 6), E(7; 9), F(1; 9). Внешние размеры 9 × 8 клеток. Отсутствует верхний правый блок 3 × 3 клетки. Ответ: 9 × 8 − 3 × 3 = 63 квадратные клетки. Убедитесь, что стороны CD и EF горизонтальны, а DE вертикальна.

1. Обход клеточной фигуры: A(1; 2), B(13; 2), C(13; 9), D(10; 9), E(10; 11), F(1; 11), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
2. Обход клеточной фигуры: A(4; 7), B(18; 7), C(18; 15), D(10; 15), E(10; 19), F(4; 19), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
3. Обход клеточной фигуры: A(1; 6), B(17; 6), C(17; 15), D(4; 15), E(4; 21), F(1; 21), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
4. Обход клеточной фигуры: A(4; 5), B(22; 5), C(22; 11), D(17; 11), E(17; 14), F(4; 14), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
5. Обход клеточной фигуры: A(1; 4), B(21; 4), C(21; 14), D(13; 14), E(13; 16), F(1; 16), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
6. Обход клеточной фигуры: A(4; 3), B(26; 3), C(26; 6), D(15; 6), E(15; 18), F(4; 18), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
7. Обход клеточной фигуры: A(1; 2), B(14; 2), C(14; 7), D(5; 7), E(5; 11), F(1; 11), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.
8. Обход клеточной фигуры: A(4; 7), B(19; 7), C(19; 11), D(11; 11), E(11; 19), F(4; 19), затем возврат в A. Все стороны идут вдоль линий сетки. Найдите площадь в квадратных клетках методом вычитания.

Вариант Б. Вместо вычитания складываем три полосы

В задачах 9–16 граница поднимается ступенями. Фигура разбивается на три вертикальные полосы разной высоты, стоящие рядом. Ширину первой полосы дают первые две разные горизонтальные координаты, ширину второй — следующие, третьей — последние. Высоту каждой полосы вычисляют как разность верхней и нижней координат. Полученные площади складывают, не допуская перекрытия.

Пример: ширины трёх полос 3, 4 и 2 клетки, высоты соответственно 11, 7 и 5. Тогда площадь равна 3 × 11 + 4 × 7 + 2 × 5 = 33 + 28 + 10 = 71 квадратная клетка. Это решение удобнее, чем пытаться закрыть ступени одним общим прямоугольником и вычитать сразу несколько участков.

9. Ступенчатый контур задан координатами: A(1; 1), B(9; 1), C(9; 4), D(6; 4), E(6; 9), F(4; 9), G(4; 13), H(1; 13), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
10. Ступенчатый контур задан координатами: A(3; 4), B(21; 4), C(21; 7), D(16; 7), E(16; 15), F(9; 15), G(9; 18), H(3; 18), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
11. Ступенчатый контур задан координатами: A(5; 1), B(22; 1), C(22; 4), D(15; 4), E(15; 11), F(9; 11), G(9; 17), H(5; 17), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
12. Ступенчатый контур задан координатами: A(7; 4), B(23; 4), C(23; 7), D(19; 7), E(19; 13), F(14; 13), G(14; 22), H(7; 22), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
13. Ступенчатый контур задан координатами: A(1; 1), B(16; 1), C(16; 4), D(10; 4), E(10; 9), F(6; 9), G(6; 13), H(1; 13), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
14. Ступенчатый контур задан координатами: A(3; 4), B(12; 4), C(12; 7), D(9; 7), E(9; 15), F(6; 15), G(6; 18), H(3; 18), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
15. Ступенчатый контур задан координатами: A(5; 1), B(18; 1), C(18; 4), D(13; 4), E(13; 11), F(11; 11), G(11; 17), H(5; 17), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.
16. Ступенчатый контур задан координатами: A(7; 4), B(25; 4), C(25; 7), D(18; 7), E(18; 13), F(11; 13), G(11; 22), H(7; 22), затем A. Разбейте фигуру на три вертикальные полосы и найдите площадь в квадратных клетках.

Ответы: варианты А и Б

Проверка варианта А

1. Габариты 12 × 9, исключён угол 3 × 2. Площадь 108 − 6 = 102 кв. клеток.
2. Габариты 14 × 12, исключён угол 8 × 4. Площадь 168 − 32 = 136 кв. клеток.
3. Габариты 16 × 15, исключён угол 13 × 6. Площадь 240 − 78 = 162 кв. клеток.
4. Габариты 18 × 9, исключён угол 5 × 3. Площадь 162 − 15 = 147 кв. клеток.
5. Габариты 20 × 12, исключён угол 8 × 2. Площадь 240 − 16 = 224 кв. клеток.
6. Габариты 22 × 15, исключён угол 11 × 12. Площадь 330 − 132 = 198 кв. клеток.
7. Габариты 13 × 9, исключён угол 9 × 4. Площадь 117 − 36 = 81 кв. клеток.
8. Габариты 15 × 12, исключён угол 8 × 8. Площадь 180 − 64 = 116 кв. клеток.

Проверка варианта Б

9. Три полосы: 3 × 12, 2 × 8, 3 × 3. Сумма 36 + 16 + 9 = 61 кв. клеток.
10. Три полосы: 6 × 14, 7 × 11, 5 × 3. Сумма 84 + 77 + 15 = 176 кв. клеток.
11. Три полосы: 4 × 16, 6 × 10, 7 × 3. Сумма 64 + 60 + 21 = 145 кв. клеток.
12. Три полосы: 7 × 18, 5 × 9, 4 × 3. Сумма 126 + 45 + 12 = 183 кв. клеток.
13. Три полосы: 5 × 12, 4 × 8, 6 × 3. Сумма 60 + 32 + 18 = 110 кв. клеток.
14. Три полосы: 3 × 14, 3 × 11, 3 × 3. Сумма 42 + 33 + 9 = 84 кв. клеток.
15. Три полосы: 6 × 16, 2 × 10, 5 × 3. Сумма 96 + 20 + 15 = 131 кв. клеток.
16. Три полосы: 4 × 18, 7 × 9, 7 × 3. Сумма 72 + 63 + 21 = 156 кв. клеток.

Взаимопроверка и неочевидные ошибки

Поменяйтесь работами: у каждого номера сначала выпишите размеры прямоугольников, потом проверьте итоговое число. Ошибка «координаты складывают вместо вычитания» особенно опасна, если чертёж сдвинут вправо или вверх: площадь при таком сдвиге не меняется. Например, ширина от x = 5 до x = 14 равна 9, а не 19 клеткам. Поэтому площади двух одинаковых фигур, расположенных в разных местах листа, должны совпадать.

Другой частый недочёт: перепутать площадь и периметр. В ответах записаны квадратные клетки, поскольку измеряется внутренняя часть фигуры. Чтобы проверить площадь, можно начертить упрощённый контур без соблюдения точного масштаба, провести линии разбиения и убедиться, что полосы не налезают друг на друга и не оставляют незасчитанных участков.