Отбор чисел по двум признакам для чётности и кратности одновременно — карточки с ответами, 5 класс

Исследовательский урок · 13 заданий · 5 класс. Здесь необходимо провести логический отбор по двум признакам одновременно: число должно быть чётным и кратным указанному натуральному числу. Одного правильного признака недостаточно.

Наблюдение: чем «и» отличается от «или»

Рассмотрим числа 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. Если спросить только о кратности 3, подходят все семь. Если спросить только о чётности, подходят 12, 18, 24, 30. Но если требуется чётность и кратность 3, берём пересечение этих двух наборов: 12, 18, 24, 30. Важен не размер первоначального списка, а выполнение обоих условий у каждого выбранного элемента.

Чтобы проверить число 24, достаточно установить 24 : 2 = 12 и 24 : 3 = 8 — два целых частных. Число 21 на 3 делится, но на 2 нет; значит, оно не подходит. Формулировка «кратно 3 или чётно» была бы другой задачей — с более широким множеством ответов.

Сформулируйте правило сами

Возьмите несколько кратных 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30. Отметьте чётные. Между двумя соседними подходящими числами разность 10. Для кратности нечётного k совместно с чётностью подходящими будут кратные 2k. А если k уже чётное, каждое кратное k чётно автоматически. Полезное общее правило: ищите числа, кратные наименьшему общему кратному 2 и k.

Карточки: сравнение, поиск, контрпример

Сначала в каждом списке помечайте два признака разными условными знаками: кружком — делимость на 2, галочкой — делимость на указанное число. Только элементы с двумя отметками попадут в ответ. Затем выполните задания на опровержение и поиск в промежутках.

1. В списке 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 оставьте только числа, которые одновременно чётные и кратные 3. Перепишите ответ по возрастанию и объясните, какое число вы отвергли из-за одного признака.
2. В списке 14, 18, 22, 25, 28, 35, 42 оставьте только числа, которые одновременно чётные и кратные 7. Перепишите ответ по возрастанию и объясните, какое число вы отвергли из-за одного признака.
3. В списке 16, 20, 24, 26, 28, 30, 36 оставьте только числа, которые одновременно чётные и кратные 4. Перепишите ответ по возрастанию и объясните, какое число вы отвергли из-за одного признака.
4. В списке 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55 оставьте только числа, которые одновременно чётные и кратные 5. Перепишите ответ по возрастанию и объясните, какое число вы отвергли из-за одного признака.
5. В списке 21, 24, 27, 32, 36, 40, 48 оставьте только числа, которые одновременно чётные и кратные 6. Перепишите ответ по возрастанию и объясните, какое число вы отвергли из-за одного признака.
6. Верно ли, что всякое число, кратное 8, автоматически чётно? А всякое чётное число кратно 8? Дайте по одному числовому примеру.
7. Ученик утверждает: «Чтобы отобрать чётные числа, кратные 9, достаточно проверять делимость на 9». Опровергните это утверждение одним числом, затем предложите правильный способ отбора.
8. Найдите наименьшее положительное число, которое одновременно чётно и кратно 11. Назовите два следующих подходящих числа.
9. Среди натуральных чисел от 20 до 65 включительно выберите все одновременно чётные и кратные 3. Сколько значений получилось?
10. Среди натуральных чисел от 31 до 95 включительно выберите все одновременно чётные и кратные 10. Сколько значений получилось?
11. Среди натуральных чисел от 10 до 48 включительно выберите все одновременно чётные и кратные 7. Сколько значений получилось?
12. Среди натуральных чисел от 41 до 92 включительно выберите все одновременно чётные и кратные 12. Сколько значений получилось?
13. Среди натуральных чисел от 55 до 131 включительно выберите все одновременно чётные и кратные 9. Сколько значений получилось?

Ключ к исследованию

1. Ответ: 12, 18, 24, 30. Для каждого оставленного числа деление на 2 и на 3 даёт целое частное. Например, 12 подходит: оба признака выполнены.
2. Ответ: 14, 28, 42. Для каждого оставленного числа деление на 2 и на 7 даёт целое частное. Например, 14 подходит: оба признака выполнены.
3. Ответ: 16, 20, 24, 28, 36. Для каждого оставленного числа деление на 2 и на 4 даёт целое частное. Например, 16 подходит: оба признака выполнены.
4. Ответ: 30, 40, 50. Для каждого оставленного числа деление на 2 и на 5 даёт целое частное. Например, 25 не подходит: нарушена чётность или делимость на 5.
5. Ответ: 24, 36, 48. Для каждого оставленного числа деление на 2 и на 6 даёт целое частное. Например, 21 не подходит: нарушена чётность или делимость на 6.
6. Да: любое кратное 8 имеет вид 8m = 2 × 4m, поэтому чётно. Обратное неверно: например, 18 чётно, но на 8 без остатка не делится.
7. Пример: 27 кратно 9, но нечётно. Подходят только кратные 18, поскольку 9 нечётно и к нему требуется дополнительный множитель 2.
8. Наименьшее 22; следующие 44 и 66. Кратные 11 чередуют чётность: подходящие — кратные 22.
9. Ответ: 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60; количество 7. Проверка: шаг между подходящими числами равен 6.
10. Ответ: 40, 50, 60, 70, 80, 90; количество 6. Проверка: шаг между подходящими числами равен 10.
11. Ответ: 14, 28, 42; количество 3. Проверка: шаг между подходящими числами равен 14.
12. Ответ: 48, 60, 72, 84; количество 4. Проверка: шаг между подходящими числами равен 12.
13. Ответ: 72, 90, 108, 126; количество 4. Проверка: шаг между подходящими числами равен 18.

Проверка правила на контрпримере

Перед сравнением выбранных наборов задайте себе два вопроса. Достаточно ли числу быть кратным k, чтобы оно было чётным? Это верно при чётном k, но не обязательно при нечётном. И обязательно ли всякое чётное число делится на k? Нет: например, 26 чётно, но не кратно 3 или 5. Именно поэтому нельзя вычёркивать вторую проверку, не выяснив, следует ли она из первой. Если одно свойство уже гарантирует другое, проверка сокращается, но сам смысл логического «и» не меняется.

Для письменного объяснения полезен такой порядок. Сначала назовите оба свойства и запишите, какое из них выполнено у каждого спорного числа. Затем объясните, почему одного свойства недостаточно, и только после этого приведите итоговый список. Не округляйте результат деления: число либо делится на выбранный делитель без остатка, либо нет. В конце сравните количество найденных чисел с количеством проверенных кандидатов: результатов не может оказаться больше исходного набора.

Представьте, что кто-то говорит: «Все чётные числа, кратные 6, обязаны делиться на 12». Это неверно: 6 и 18 чётные и кратные 6, но 12 не кратны. Здесь 6 уже чётно, и второй дополнительный множитель 2 не требуется. Точно так же для кратности 8 нужно проверять только делимость на 8; для кратности 7 — делимость на 14.

При чтении задач всегда отделяйте условие отбора от места поиска. Указанный промежуток лишь задаёт, среди каких чисел искать ответы. Основной математический навык карточки — одновременная проверка чётности и кратности, а не работа с неравенствами.

Самопроверка. Для каждого ответа выпишите два деления без остатка. При работе с длинным промежутком используйте шаг НОК(2, k), но проверьте первую найденную кратность вручную. Это защищает от пропуска первого подходящего числа на границе интервала.