Поиск возможных значений выражения на координатной прямой с пропусками: упражнения разной сложности, 6 класс

6 класс · рабочий лист для печати · два варианта по 9 упражнений. Здесь на координатной прямой часть подписей скрыта. Неизвестная x обозначает одну из пропущенных отметок, а не какое-то произвольное число. Важны и положение точки, и все различные значения выражения, которые могут получиться.

Памятка к самостоятельной работе

На прямой с единичным шагом соседние подписанные точки отличаются ровно на 1: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, …. Если между отметками −5 и −2 стоят две непомеченные точки, их подписи — −4 и −3. Поэтому при x, равном одной из двух скрытых отметок, набор возможных значений x состоит ровно из чисел −4 и −3.

Чтобы найти все возможные значения выражения, поступайте последовательно. Сначала восстановите пропущенные целые координаты слева направо, затем подставьте каждую координату в формулу E. Если два разных x дают одинаковое значение E, в ответе это число записывают один раз. Нельзя объявлять набор возможных значений равным набору самих координат: выражение может преобразовать их по-разному.

Образец. На прямой стоят точки −4, □, □, −1. Значит, x может быть −3 или −2. Для E = |x + 2| получим: при x = −3 значение 1, при x = −2 значение 0. Итак, все возможные значения E — 0 и 1. Модуль не может быть отрицательным, но вполне может равняться нулю.

Помните о двух типичных ловушках. При чтении координат слева направо отрицательные числа возрастают: −7, −6, −5, а не наоборот. При вычислении |a| нужно взять расстояние числа a от нуля: |−4| = 4. Если формула содержит две пары вертикальных черт, вычислите оба модуля до вычитания.

Вариант А — восстановите пропуски

Фамилия __________________________ Дата __________. В каждом номере сначала запишите полный ряд отметок, затем подстановки и окончательный набор значений E. Пользуйтесь записью «E ∈ {…}» только после вычисления всех случаев.

1. 1. Отметки: −7, □, □, □, −3. Выражение E = |x − 0|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
2. 2. Отметки: −4, □, □, □, □, 1. Выражение E = 2x + 2. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
3. 3. Отметки: −9, □, □, □, −5. Выражение E = |x + 6| + 2. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
4. 4. Отметки: −2, □, □, □, □, 3. Выражение E = |x − 4| − |x|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
5. 5. Отметки: −6, □, □, □, □, −1. Выражение E = |x + 2|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
6. 6. Отметки: −3, □, □, □, □, 2. Выражение E = 2x − 5. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
7. 7. Отметки: −8, □, □, □, □, −3. Выражение E = |x − 2| + 2. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
8. 8. Отметки: −1, □, □, □, □, 4. Выражение E = |x − 1| − |x|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
9. 9. Отметки: −5, □, □, □, −1. Выражение E = 2x − 2. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.

Вариант Б — сравните полученные наборы

Сначала выполните вычисления для всех пропусков. Если выражение с модулем даёт одинаковые значения на разных координатах, поясните, какая симметрия относительно отмеченного числа это вызывает.

10. 10. Отметки: −10, □, □, □, □, −5. Выражение E = |x + 4|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
11. 11. Отметки: −6, □, □, □, −2. Выражение E = |x − 3| − |x|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
12. 12. Отметки: 0, □, □, □, □, 5. Выражение E = |x − 2| + 2. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
13. 13. Отметки: −4, □, □, □, □, □, 2. Выражение E = 2x + 1. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
14. 14. Отметки: −7, □, □, □, □, −2. Выражение E = |x + 5| − |x|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
15. 15. Отметки: −3, □, □, □, □, □, 3. Выражение E = |x − 2|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
16. 16. Отметки: −9, □, □, □, □, −4. Выражение E = 2x − 6. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
17. 17. Отметки: −2, □, □, □, □, □, 4. Выражение E = |x − 1| + 2. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.
18. 18. Отметки: −5, □, □, □, □, 0. Выражение E = |x − 0| − |x|. Найдите все различные E, когда x — любая пропущенная отметка.

Развёрнутый ключ для учителя — вариант А

1. 1. x: −6, −5, −4; подстановки x→E: −6→6; −5→5; −4→4. Различные E: 4, 5, 6.
2. 2. x: −3, −2, −1, 0; подстановки x→E: −3→−4; −2→−2; −1→0; 0→2. Различные E: −4, −2, 0, 2.
3. 3. x: −8, −7, −6; подстановки x→E: −8→4; −7→3; −6→2. Различные E: 2, 3, 4.
4. 4. x: −1, 0, 1, 2; подстановки x→E: −1→4; 0→4; 1→2; 2→0. Различные E: 0, 2, 4.
5. 5. x: −5, −4, −3, −2; подстановки x→E: −5→3; −4→2; −3→1; −2→0. Различные E: 0, 1, 2, 3.
6. 6. x: −2, −1, 0, 1; подстановки x→E: −2→−9; −1→−7; 0→−5; 1→−3. Различные E: −9, −7, −5, −3.
7. 7. x: −7, −6, −5, −4; подстановки x→E: −7→11; −6→10; −5→9; −4→8. Различные E: 8, 9, 10, 11.
8. 8. x: 0, 1, 2, 3; подстановки x→E: 0→1; 1→−1; 2→−1; 3→−1. Различные E: −1, 1.
9. 9. x: −4, −3, −2; подстановки x→E: −4→−10; −3→−8; −2→−6. Различные E: −10, −8, −6.

Развёрнутый ключ для учителя — вариант Б

10. 10. x: −9, −8, −7, −6; подстановки x→E: −9→5; −8→4; −7→3; −6→2. Различные E: 2, 3, 4, 5.
11. 11. x: −5, −4, −3; подстановки x→E: −5→3; −4→3; −3→3. Различные E: 3.
12. 12. x: 1, 2, 3, 4; подстановки x→E: 1→3; 2→2; 3→3; 4→4. Различные E: 2, 3, 4.
13. 13. x: −3, −2, −1, 0, 1; подстановки x→E: −3→−5; −2→−3; −1→−1; 0→1; 1→3. Различные E: −5, −3, −1, 1, 3.
14. 14. x: −6, −5, −4, −3; подстановки x→E: −6→−5; −5→−5; −4→−3; −3→−1. Различные E: −5, −3, −1.
15. 15. x: −2, −1, 0, 1, 2; подстановки x→E: −2→4; −1→3; 0→2; 1→1; 2→0. Различные E: 0, 1, 2, 3, 4.
16. 16. x: −8, −7, −6, −5; подстановки x→E: −8→−22; −7→−20; −6→−18; −5→−16. Различные E: −22, −20, −18, −16.
17. 17. x: −1, 0, 1, 2, 3; подстановки x→E: −1→4; 0→3; 1→2; 2→3; 3→4. Различные E: 2, 3, 4.
18. 18. x: −4, −3, −2, −1; подстановки x→E: −4→0; −3→0; −2→0; −1→0. Различные E: 0.

Как проверять результат без рисунка

Число пропусков должно равняться разности крайних координат минус один. Например, между −8 и −3 всего четыре промежуточных целых числа: −7, −6, −5 и −4. После подстановок число различных значений E не может превышать число кандидатов x. Если значений больше, появилась арифметическая ошибка; если меньше — проверьте, действительно ли некоторые результаты совпали.

Для модулей полезна дополнительная проверка: |x − c| измеряет расстояние на координатной прямой от x до c. Поэтому две координаты, одинаково удалённые от c, дают один результат. Если E = 2x + c, с ростом x на единицу E увеличивается ровно на 2. Эти закономерности позволяют проверить последовательность без повторного полного вычисления.