Восстановление неизвестного множителя дроби для смешанных чисел и натуральных — упражнения разной сложности, 6 класс

6 класс · мастерская школьных плакатов · 12 связанных задач. В этой карточке нужно восстанавливать неизвестный множитель, когда известны произведение и один множитель. Контекст — прямоугольные панели для школьных работ: площадь = ширина × длина. Ширина бывает целым числом метров или смешанной дробью; недостающая длина тоже может оказаться натуральной либо смешанной. Именно поэтому решать только в целых числах нельзя.

Исходная ведомость школьной мастерской

У учителя сохранилась площадь каждого макета и его ширина, а длина в ведомости потеряна. Восстановите её для каждой строки. Все величины положительны, измерения точные, и округлять промежуточные дроби не требуется. В этой математической модели размеры могут быть рациональными: это учебные данные, а не реальные стандарты печати.

Математическая модель

Пусть ширина w метров, неизвестная длина x метров, площадь S квадратных метров. Тогда w · x = S. Если w не равно нулю, то x = S : w. Например, для ширины 1 1/2 м и площади 4 1/2 м² получим x = (9/2) : (3/2) = (9/2) × (2/3) = 3 м. Обратная проверка: 1 1/2 × 3 = 4 1/2 м².

Для деления на смешанное число сначала переведите его в неправильную дробь: 2 1/4 = 9/4. Затем умножьте делимое на обратную дробь; произведение сократите. В отличие от сложения дробей, общий знаменатель здесь не нужен. Результат записывайте в метрах, поскольку квадратные метры площади делятся на метры ширины.

Карточка А — первые три строки ведомости

Здесь встретятся и натуральная, и смешанная длина. Прежде чем записывать ответ, обоснуйте его дробным делением.

1. Лист для школьного стенда: по строке 1 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
2. Плакат календаря: по строке 2 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
3. Панель расписания: по строке 3 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.

Карточка Б — сравните натуральный и смешанный ответы

Не каждый ответ будет смешанным числом. Если получили неправильную дробь, выделите целую часть, когда остаётся ненулевой остаток.

4. Макет стенгазеты: по строке 4 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
5. Фон для выставки: по строке 5 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
6. Рамка для рисунка: по строке 6 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.

Карточка В — выбор способа и проверка площади

Решите оставшиеся строки. Для каждого макета оцените разумность: если площадь больше ширины в 2 раза, то длина должна быть ровно 2 м; если множитель восстановлен неверно, контрольное произведение уже не совпадёт с ведомостью.

7. Декорация сцены: по строке 7 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
8. Баннер класса: по строке 8 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
9. Карта города: по строке 9 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
10. План помещения: по строке 10 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
11. Постер школьного проекта: по строке 11 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.
12. Макет выставочного щита: по строке 12 таблицы восстановите неизвестную длину панели в метрах. Запишите деление площади на ширину, сократите дробь и выполните обратную проверку умножением.

Ответы для всей ведомости

1. 1. x = 4 1/2 : 1 1/2 = 3 м. Проверка площади: (1 1/2 м) × (3 м) = 4 1/2 м². Длина натуральная.
2. 2. x = 3 1/2 : 2 = 1 3/4 м. Проверка площади: (2 м) × (1 3/4 м) = 3 1/2 м². Длина смешанная.
3. 3. x = 4 1/2 : 2 1/4 = 2 м. Проверка площади: (2 1/4 м) × (2 м) = 4 1/2 м². Длина натуральная.
4. 4. x = 5 : 3 = 1 2/3 м. Проверка площади: (3 м) × (1 2/3 м) = 5 м². Длина смешанная.
5. 5. x = 7 : 1 3/4 = 4 м. Проверка площади: (1 3/4 м) × (4 м) = 7 м². Длина натуральная.
6. 6. x = 5 1/2 : 4 = 1 3/8 м. Проверка площади: (4 м) × (1 3/8 м) = 5 1/2 м². Длина смешанная.
7. 7. x = 7 1/2 : 2 1/2 = 3 м. Проверка площади: (2 1/2 м) × (3 м) = 7 1/2 м². Длина натуральная.
8. 8. x = 7 1/2 : 6 = 1 1/4 м. Проверка площади: (6 м) × (1 1/4 м) = 7 1/2 м². Длина смешанная.
9. 9. x = 5 1/2 : 2 3/4 = 2 м. Проверка площади: (2 3/4 м) × (2 м) = 5 1/2 м². Длина натуральная.
10. 10. x = 7 : 5 = 1 2/5 м. Проверка площади: (5 м) × (1 2/5 м) = 7 м². Длина смешанная.
11. 11. x = 14 : 3 1/2 = 4 м. Проверка площади: (3 1/2 м) × (4 м) = 14 м². Длина натуральная.
12. 12. x = 9 : 8 = 1 1/8 м. Проверка площади: (8 м) × (1 1/8 м) = 9 м². Длина смешанная.

Точность и единицы измерения

У ширины и длины единица измерения — метр, у площади — квадратный метр. Поэтому выражение S : w должно давать метры, а не м². Если длина получилась отрицательной, ошибка очевидна: по исходному условию ширина и площадь положительны. Если при восстановлении длины 1 3/4 м записали 1,75 м, это равные значения; но в школьной карточке полезнее оставить смешанную дробь, чтобы показать навык работы с обычными дробями.

Не округляйте до 2 м длину 1 7/8 м: такое округление нарушит точную обратную проверку. При рациональных данных правильный способ — пользоваться дробями до последнего шага. Если вы сомневаетесь, умножьте ответ на ширину и сравните с площадью из той же строки таблицы.

Самоконтроль: неизвестный множитель получен через деление, делитель не равен нулю, смешанные числа переведены в неправильные дроби, обратное умножение выполнено точно и итог записан в метрах.