Восстановление недостающей рациональной точки при смешении дробной и десятичной записи — мини-практикум с ответами, 6 класс

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Углублённый практикум: восстановление точки при смешанных дробях

Как восстановить рациональную координату

На числовой прямой равные отрезки отвечают равным изменениям координат. Если известны крайние отметки и число промежутков между ними, длина шага равна разности координат, делённой на число промежутков. После этого координата любой пропущенной точки находится прибавлением нужного количества шагов к левой крайней отметке.

Чтобы не ошибиться при смешанной записи, переводите десятичные дроби в обыкновенные или наоборот. Например, −1,25 = −5/4, а −7/8 = −0,875. Для сравнения удобен один общий вид записи. Важно: расстояние между точками не бывает отрицательным; шаг, направленный вправо, должен быть положительным.

Уровень I. Пропала средняя точка B

Между A и C есть один неизвестный узел B. По условию AB = BC. Сначала найдите арифметическую середину координат; затем проверьте разности B − A и C − B. Не забывайте: сумма двух отрицательных чисел тоже отрицательна, но результат деления на 2 по модулю меньше суммы.

1. Отметки A = −1,4 и C = −11/10 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
2. Отметки A = −1,6 и C = −1 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
3. Отметки A = −1,8 и C = −9/10 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
4. Отметки A = −2 и C = −3/2 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
5. Отметки A = −2,2 и C = −7/5 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
6. Отметки A = −2,4 и C = −2 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
7. Отметки A = −2,6 и C = −19/10 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.
8. Отметки A = −2,8 и C = −5/2 разделены двумя равными промежутками A–B–C. Найдите координату B; дайте ответ и дробью, и десятичной записью.

Уровень II. Три равных шага

В задачах 9–16 известны A и D, а внутри — ещё две отметки. Поэтому расстояние D − A делится на три, а не на два. Если известная запись в виде дроби выглядит неудобной, сначала преобразуйте её в десятичную; затем проверьте, что шаг точно повторяется три раза.

9. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −13/8, D = −1,25. Найдите B; запишите десятичное значение и дробь.
10. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −2, D = −1,25. Найдите C; запишите десятичное значение и дробь.
11. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −19/8, D = −1,25. Найдите B; запишите десятичное значение и дробь.
12. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −11/4, D = −1,25. Найдите C; запишите десятичное значение и дробь.
13. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −25/8, D = −1,25. Найдите B; запишите десятичное значение и дробь.
14. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −7/2, D = −3,125. Найдите C; запишите десятичное значение и дробь.
15. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −31/8, D = −3,125. Найдите B; запишите десятичное значение и дробь.
16. На прямой четыре равноотстоящие отметки A–B–C–D. Координаты A = −17/4, D = −3,125. Найдите C; запишите десятичное значение и дробь.

Уровень III. Четыре шага и проверка чужого ответа

Здесь нужно найти B, C или D в цепочке A–B–C–D–E. Два условия надо проверить одновременно: ваша координата лежит между концами и она соответствует правильному количеству одинаковых шагов. Поиск приблизительной точки «на глаз» не заменяет арифметический расчёт.

17. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −1,9, E = −17/10. Восстановите точку B. Ученик предложил координату −1,8; верна ли она? Объясните.
18. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −2,1, E = −17/10. Восстановите точку C. Ученик предложил координату −1,85; верна ли она? Объясните.
19. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −2,3, E = −17/10. Восстановите точку D. Ученик предложил координату −1,8; верна ли она? Объясните.
20. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −2,5, E = −17/10. Восстановите точку B. Ученик предложил координату −2,25; верна ли она? Объясните.
21. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −2,7, E = −5/2. Восстановите точку C. Ученик предложил координату −2,55; верна ли она? Объясните.
22. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −2,9, E = −5/2. Восстановите точку D. Ученик предложил координату −2,55; верна ли она? Объясните.
23. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −3,1, E = −5/2. Восстановите точку B. Ученик предложил координату −2,9; верна ли она? Объясните.
24. Пять равноотстоящих точек A–B–C–D–E, A = −3,3, E = −5/2. Восстановите точку C. Ученик предложил координату −2,85; верна ли она? Объясните.

Полные решения, один номер — один контроль

1. 1. B = (A + C)/2 = (−1,4 + −11/10)/2 = −5/4 = −1,25. Проверка: AB = BC = 3/20.
2. 2. B = (A + C)/2 = (−1,6 + −1)/2 = −13/10 = −1,3. Проверка: AB = BC = 3/10.
3. 3. B = (A + C)/2 = (−1,8 + −9/10)/2 = −27/20 = −1,35. Проверка: AB = BC = 9/20.
4. 4. B = (A + C)/2 = (−2 + −3/2)/2 = −7/4 = −1,75. Проверка: AB = BC = 1/4.
5. 5. B = (A + C)/2 = (−2,2 + −7/5)/2 = −9/5 = −1,8. Проверка: AB = BC = 2/5.
6. 6. B = (A + C)/2 = (−2,4 + −2)/2 = −11/5 = −2,2. Проверка: AB = BC = 1/5.
7. 7. B = (A + C)/2 = (−2,6 + −19/10)/2 = −9/4 = −2,25. Проверка: AB = BC = 7/20.
8. 8. B = (A + C)/2 = (−2,8 + −5/2)/2 = −53/20 = −2,65. Проверка: AB = BC = 3/20.
9. 9. Один шаг = (D − A)/3 = 1/8. Пропущенная точка = A + 1 шаг(а) = −3/2 = −1,5; проверка: D − A = 3/8.
10. 10. Один шаг = (D − A)/3 = 1/4. Пропущенная точка = A + 2 шаг(а) = −3/2 = −1,5; проверка: D − A = 3/4.
11. 11. Один шаг = (D − A)/3 = 3/8. Пропущенная точка = A + 1 шаг(а) = −2 = −2; проверка: D − A = 9/8.
12. 12. Один шаг = (D − A)/3 = 1/2. Пропущенная точка = A + 2 шаг(а) = −7/4 = −1,75; проверка: D − A = 3/2.
13. 13. Один шаг = (D − A)/3 = 5/8. Пропущенная точка = A + 1 шаг(а) = −5/2 = −2,5; проверка: D − A = 15/8.
14. 14. Один шаг = (D − A)/3 = 1/8. Пропущенная точка = A + 2 шаг(а) = −13/4 = −3,25; проверка: D − A = 3/8.
15. 15. Один шаг = (D − A)/3 = 1/4. Пропущенная точка = A + 1 шаг(а) = −29/8 = −3,625; проверка: D − A = 3/4.
16. 16. Один шаг = (D − A)/3 = 3/8. Пропущенная точка = A + 2 шаг(а) = −7/2 = −3,5; проверка: D − A = 9/8.
17. 17. Шаг = (E − A)/4 = 1/20; точка стоит после 1 шага(ов): −37/20 = −1,85. Предложение −1,8 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
18. 18. Шаг = (E − A)/4 = 1/10; точка стоит после 2 шага(ов): −19/10 = −1,9. Предложение −1,85 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
19. 19. Шаг = (E − A)/4 = 3/20; точка стоит после 3 шага(ов): −37/20 = −1,85. Предложение −1,8 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
20. 20. Шаг = (E − A)/4 = 1/5; точка стоит после 1 шага(ов): −23/10 = −2,3. Предложение −2,25 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
21. 21. Шаг = (E − A)/4 = 1/20; точка стоит после 2 шага(ов): −13/5 = −2,6. Предложение −2,55 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
22. 22. Шаг = (E − A)/4 = 1/10; точка стоит после 3 шага(ов): −13/5 = −2,6. Предложение −2,55 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
23. 23. Шаг = (E − A)/4 = 3/20; точка стоит после 1 шага(ов): −59/20 = −2,95. Предложение −2,9 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.
24. 24. Шаг = (E − A)/4 = 1/5; точка стоит после 2 шага(ов): −29/10 = −2,9. Предложение −2,85 ошибочно, оно отличается на 0,05; при нём шаги не равны.

Как работать с ошибками

Если ученик неправильно находит среднюю точку между двумя отрицательными числами, предложите сначала заменить обе координаты десятичными долями одного разряда. Если проблема в делении на число промежутков, нарисуйте A–B–C–D и посчитайте именно промежутки: их три, хотя точек четыре. Если числа записаны разными способами, проверьте равенство вроде −5/8 = −0,625 до выполнения основного задания.

Небольшой итоговый эксперимент: придумайте свои A и D так, чтобы между ними находились две равноотстоящие точки, одна из которых равнялась −0,5. Решение может быть неединственным: например, A = −0,8, шаг 0,3, тогда B = −0,5, C = −0,2, D = 0,1. На этом примере видно, что восстановление зависит от известных границ и шага, а не от формы записи числа.