Восстановление недостающей рациональной точки с числами на одинаковом расстоянии от нуля: математический практикум для 6 класса

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Табличный практикум на восстановление противоположной рациональной координаты

Данные для восстановления: таблица симметричных точек

Отметим на числовой прямой ноль и две точки, расположенные по разные стороны от него на одинаковом расстоянии. Координаты таких точек называют противоположными числами: если первая точка имеет координату a, другая имеет координату −a. Их модули равны. Например, −0,75 и 0,75 одинаково удалены от нуля, хотя сами числа не равны. Эта карточка посвящена именно восстановлению неизвестной координаты по заданному модулю и второй точке.

В некоторых строках расстояние дано сокращённой дробью, а координата записана десятичным или смешанным числом. Приводить все числа к одинаковому виду необязательно: главное — сохранить знак и проверить модуль. Дополнительно подумайте, может ли существовать две разные точки, расположенные по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии, если это расстояние равно нулю. Нет: при нулевом расстоянии обе точки совпадают с нулём.

Чтение таблицы: первые шесть вопросов

1. В строке 1 таблицы заполните отсутствующую координату так, чтобы расстояния двух точек от нуля совпали. Запишите отсутствующее число двумя способами, если возможно.
2. В строке 2 таблицы заполните отсутствующую координату так, чтобы расстояния двух точек от нуля совпали. Запишите отсутствующее число двумя способами, если возможно.
3. В строке 3 таблицы заполните отсутствующую координату так, чтобы расстояния двух точек от нуля совпали. Запишите отсутствующее число двумя способами, если возможно.
4. В строке 4 таблицы заполните отсутствующую координату так, чтобы расстояния двух точек от нуля совпали. Запишите отсутствующее число двумя способами, если возможно.
5. В строке 5 таблицы заполните отсутствующую координату так, чтобы расстояния двух точек от нуля совпали. Запишите отсутствующее число двумя способами, если возможно.
6. В строке 6 таблицы заполните отсутствующую координату так, чтобы расстояния двух точек от нуля совпали. Запишите отсутствующее число двумя способами, если возможно.

Проверка гипотез: верная или противоречивая запись?

В заданиях 7–12 проверяйте не только значение модуля, но и знак. Случай «оба числа положительные» неверен для разных точек по обе стороны нуля. Это частая ошибка: одинаковые модули у совпадающих точек тоже возможны, но тогда речь не идёт о паре противоположных точек.

7. Строка 7: восстановите неизвестную точку, затем проверьте предположение ученика «другая точка равна 1,65». Верно ли предположение?
8. Строка 8: восстановите неизвестную точку, затем проверьте предположение ученика «другая точка равна 4,75». Верно ли предположение?
9. Строка 9: восстановите неизвестную точку, затем проверьте предположение ученика «другая точка равна 0,4375». Верно ли предположение?
10. Строка 10: восстановите неизвестную точку, затем проверьте предположение ученика «другая точка равна 2,9». Верно ли предположение?
11. Строка 11: восстановите неизвестную точку, затем проверьте предположение ученика «другая точка равна 3,875». Верно ли предположение?
12. Строка 12: восстановите неизвестную точку, затем проверьте предположение ученика «другая точка равна 0,92». Верно ли предположение?

Вычисление и доказательство: задания 13–18

13. Строка 13: укажите пропущенную координату и объясните, почему средняя точка отрезка между двумя противоположными числами имеет координату 0.
14. Строка 14: укажите пропущенную координату и объясните, почему средняя точка отрезка между двумя противоположными числами имеет координату 0.
15. Строка 15: укажите пропущенную координату и объясните, почему средняя точка отрезка между двумя противоположными числами имеет координату 0.
16. Строка 16: укажите пропущенную координату и объясните, почему средняя точка отрезка между двумя противоположными числами имеет координату 0.
17. Строка 17: укажите пропущенную координату и объясните, почему средняя точка отрезка между двумя противоположными числами имеет координату 0.
18. Строка 18: укажите пропущенную координату и объясните, почему средняя точка отрезка между двумя противоположными числами имеет координату 0.

Подробный ключ для проверки

1. 1. Известная точка −0,875, пропущенная 7/8 (десятичная запись: 0,875). Проверка: |−7/8| = |7/8| = 7/8. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
2. 2. Известная точка 13/10, пропущенная −13/10 (десятичная запись: −1,3). Проверка: |13/10| = |−13/10| = 13/10. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
3. 3. Известная точка −2 3/4, пропущенная 11/4 (десятичная запись: 2,75). Проверка: |−11/4| = |11/4| = 11/4. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
4. 4. Известная точка 0,45, пропущенная −9/20 (десятичная запись: −0,45). Проверка: |9/20| = |−9/20| = 9/20. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
5. 5. Известная точка −17/5, пропущенная 17/5 (десятичная запись: 3,4). Проверка: |−17/5| = |17/5| = 17/5. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
6. 6. Известная точка 2 5/8, пропущенная −21/8 (десятичная запись: −2,625). Проверка: |21/8| = |−21/8| = 21/8. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
7. 7. Известная точка −1,65, пропущенная 33/20 (десятичная запись: 1,65). Проверка: |−33/20| = |33/20| = 33/20. Предположение верно.
8. 8. Известная точка 19/4, пропущенная −19/4 (десятичная запись: −4,75). Проверка: |19/4| = |−19/4| = 19/4. Предположение неверно: число с тем же знаком не является другой точкой.
9. 9. Известная точка −7/16, пропущенная 7/16 (десятичная запись: 0,4375). Проверка: |−7/16| = |7/16| = 7/16. Предположение верно.
10. 10. Известная точка 2,9, пропущенная −29/10 (десятичная запись: −2,9). Проверка: |29/10| = |−29/10| = 29/10. Предположение неверно: число с тем же знаком не является другой точкой.
11. 11. Известная точка −31/8, пропущенная 31/8 (десятичная запись: 3,875). Проверка: |−31/8| = |31/8| = 31/8. Предположение верно.
12. 12. Известная точка 23/25, пропущенная −23/25 (десятичная запись: −0,92). Проверка: |23/25| = |−23/25| = 23/25. Предположение неверно: число с тем же знаком не является другой точкой.
13. 13. Известная точка −1,35, пропущенная 27/20 (десятичная запись: 1,35). Проверка: |−27/20| = |27/20| = 27/20. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
14. 14. Известная точка 51/10, пропущенная −51/10 (десятичная запись: −5,1). Проверка: |51/10| = |−51/10| = 51/10. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
15. 15. Известная точка −4 7/8, пропущенная 39/8 (десятичная запись: 4,875). Проверка: |−39/8| = |39/8| = 39/8. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
16. 16. Известная точка 3,65, пропущенная −73/20 (десятичная запись: −3,65). Проверка: |73/20| = |−73/20| = 73/20. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
17. 17. Известная точка −11/2, пропущенная 11/2 (десятичная запись: 5,5). Проверка: |−11/2| = |11/2| = 11/2. Координаты противоположны: их сумма равна 0.
18. 18. Известная точка 1 22/25, пропущенная −47/25 (десятичная запись: −1,88). Проверка: |47/25| = |−47/25| = 47/25. Координаты противоположны: их сумма равна 0.

Почему метод всегда работает

Определение модуля числа означает расстояние до нуля. Для любого a верно |−a| = |a|. Но равенство модулей само по себе не доказывает, что две записи — разные точки: например, |2|=|2|. В нашем условии сказано, что известная точка и искомая находятся по разные стороны от нуля, поэтому из двух вариантов с заданным расстоянием выбирается координата с противоположным знаком. При a=0 единственный вариант — 0; «−0» не обозначает другую точку.

Самопроверка для каждого результата: сложите обе координаты. Если вышел ноль и их модули одинаковы, противоположность подтверждена. Второй способ — построить отрезок между двумя точками и убедиться, что его середина совпадает с нулём. Не нужно путать эту задачу с упорядочением чисел: здесь устанавливается точное положение одной пропущенной точки, а не порядок множества точек.