Проверка записи числа разными способами при смешении дробной и десятичной записи: задания с разбором, 6 класс

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Задачи на тождество обыкновенной и конечной десятичной записи одного числа

Базовая пара равных записей — с обратной проверкой

Обыкновенная дробь и конечная десятичная дробь обозначают одно рациональное число, когда вычисленные значения совпадают точно, а не приблизительно. Например, 7/20 = 0,35: умножая 0,35 на 20, получаем 7. Обратная проверка особенно полезна, когда десятичная запись похожа на правильную, но отличается последним разрядом.

Если знаменатель после сокращения имеет только простые множители 2 и 5, дробь выражается конечной десятичной записью. В этой работе все выбранные дроби обладают таким свойством. Однако округлять ради получения равенства нельзя: 0,333 не равно 1/3. В заданиях не требуется переводить бесконечные периодические десятичные дроби.

Задачи с изменённым условием: 1–6

1. Сравните 7/20 и 0,35. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.
2. Сравните -18/50 и −0,35. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.
3. Восстановите целый числитель n из равенства n/16 = 1,625. Запишите дробь после сокращения, затем проверьте обратным действием.
4. Переведите −0,425 в несократимую обыкновенную дробь, затем в дробь со знаменателем 200. Докажите равенство обеих записей.
5. Найдите ошибку: «31/50 = 0,61». Укажите правильную десятичную запись и объясните проверку умножением.
6. Сравните -54/32 и −1,6875. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.

Способ самопроверки: если известно n/d = x, умножьте обе части на ненулевой d и сравните n с x·d. Если восстановленный числитель получился нецелым при условии «целый числитель», ищите ошибку в десятичной записи. Отрицательный знак сохраняется при обоих действиях, а знаменатель никогда не равен нулю.

Обратные переходы и ошибочные равенства: 7–12

7. Сравните 33/375 и 0,098. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.
8. Восстановите целый числитель n из равенства n/160 = −0,2375. Запишите дробь после сокращения, затем проверьте обратным действием.
9. Переведите 0,365 в несократимую обыкновенную дробь, затем в дробь со знаменателем 1000. Докажите равенство обеих записей.
10. Найдите ошибку: «−37/32 = −1,16625». Укажите правильную десятичную запись и объясните проверку умножением.
11. Сравните 87/750 и 0,116. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.
12. Сравните -164/80 и −2,04. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.

Самостоятельная серия повышенной точности: 13–18

13. Восстановите целый числитель n из равенства n/50 = 1,88. Запишите дробь после сокращения, затем проверьте обратным действием.
14. Переведите −0,104 в несократимую обыкновенную дробь, затем в дробь со знаменателем 625. Докажите равенство обеих записей.
15. Найдите ошибку: «23/40 = 0,565». Укажите правильную десятичную запись и объясните проверку умножением.
16. Сравните -252/320 и −0,7875. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.
17. Сравните 89/50 и 1,79. Это две записи одного числа? Приведите доказательство обратным умножением.
18. Восстановите целый числитель n из равенства n/32 = −0,4375. Запишите дробь после сокращения, затем проверьте обратным действием.

Пример с особенно мелкими долями: если знаменатель равен 250, то одна доля составляет 0,004. Поэтому сдвиг на сотую — это уже не малозаметное округление, а изменение на две с половиной такие доли. Для отрицательной дроби с неверным десятичным аналогом проверяйте не только цифры, но и знак; отличия в последнем знаке обязательно учитываются. В заданиях с неизвестным числителем умножение на знаменатель выполняйте до сокращения результата, чтобы получить именно тот целый числитель, который относится к указанному знаменателю.

Решения с обратной проверкой

1. 1. Дробь после сокращения равна 7/20 = 0,35. Сравниваемая десятичная запись 0,35: равна дроби. Обратная проверка: 7/20 × 20 = 7, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
2. 2. Дробь после сокращения равна −9/25 = −0,36. Сравниваемая десятичная запись −0,35: не равна; расхождение ровно 0,01. Обратная проверка: −9/25 × 25 = -9, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
3. 3. n = 1,625 × 16 = 26; исходная дробь 26/16 = 13/8. Контроль: деление 26 на 16 возвращает 1,625.
4. 4. −0,425 = −17/40 = -85/200. Прямой и обратный переход дают одно число; при сокращении общей пятёрки получаем исходную дробь.
5. 5. Неверно: 31/50 = 0,62, а предложено 0,61. Ошибка на одну сотую. Умножение правильного значения 0,62 на знаменатель 50 даёт числитель 31.
6. 6. Дробь после сокращения равна −27/16 = −1,6875. Сравниваемая десятичная запись −1,6875: равна дроби. Обратная проверка: −27/16 × 16 = -27, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
7. 7. Дробь после сокращения равна 11/125 = 0,088. Сравниваемая десятичная запись 0,098: не равна; расхождение ровно 0,01. Обратная проверка: 11/125 × 125 = 11, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
8. 8. n = −0,2375 × 160 = -38; исходная дробь -38/160 = −19/80. Контроль: деление -38 на 160 возвращает −0,2375.
9. 9. 0,365 = 73/200 = 365/1000. Прямой и обратный переход дают одно число; при сокращении общей пятёрки получаем исходную дробь.
10. 10. Неверно: −37/32 = −1,15625, а предложено −1,16625. Ошибка на одну сотую. Умножение правильного значения −1,15625 на знаменатель 32 даёт числитель -37.
11. 11. Дробь после сокращения равна 29/250 = 0,116. Сравниваемая десятичная запись 0,116: равна дроби. Обратная проверка: 29/250 × 250 = 29, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
12. 12. Дробь после сокращения равна −41/20 = −2,05. Сравниваемая десятичная запись −2,04: не равна; расхождение ровно 0,01. Обратная проверка: −41/20 × 20 = -41, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
13. 13. n = 1,88 × 50 = 94; исходная дробь 94/50 = 47/25. Контроль: деление 94 на 50 возвращает 1,88.
14. 14. −0,104 = −13/125 = -65/625. Прямой и обратный переход дают одно число; при сокращении общей пятёрки получаем исходную дробь.
15. 15. Неверно: 23/40 = 0,575, а предложено 0,565. Ошибка на одну сотую. Умножение правильного значения 0,575 на знаменатель 40 даёт числитель 23.
16. 16. Дробь после сокращения равна −63/80 = −0,7875. Сравниваемая десятичная запись −0,7875: равна дроби. Обратная проверка: −63/80 × 80 = -63, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
17. 17. Дробь после сокращения равна 89/50 = 1,78. Сравниваемая десятичная запись 1,79: не равна; расхождение ровно 0,01. Обратная проверка: 89/50 × 50 = 89, поэтому значение исходной дроби определено однозначно.
18. 18. n = −0,4375 × 32 = -14; исходная дробь -14/32 = −7/16. Контроль: деление -14 на 32 возвращает −0,4375.

Три инструмента проверки, которые полезно чередовать

Приведение к общему знаменателю. Запишите десятичную дробь как целое число, делённое на 10, 100 или 1000, затем сократите. Если получилась та же несократимая дробь, записи равны. Этот путь надёжен для заданий на сотые и тысячные доли.

Умножение на знаменатель. Для предполагаемого равенства a/b = x (b ≠ 0) проверьте a = b·x. Если десятичная запись ошибочна хотя бы на 0,01, произведение с b не даст исходного числителя.

Оценка знака и порядка величины. Отрицательная дробь не может совпадать с положительной десятичной. Если |a| меньше |b|, модуль a/b меньше единицы, поэтому ответ вроде −2,8 сразу выглядит подозрительно. Сначала применяйте грубую оценку, затем точную обратную проверку.