Проверка записи числа разными способами при разных знаках знаменателя: самостоятельная работа, 6 класс

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Исследование разных знаков знаменателя при проверке равенства рациональных дробей

Наблюдение: что происходит при переносе знака

Сравните дроби 3/(−7), (−3)/7 и (−3)/(−7). Первые две имеют одно значение −3/7, третья равна +3/7. Смена знака только у знаменателя меняет значение числа на противоположное; смена знаков сразу у числителя и знаменателя сохраняет значение. Нельзя «убрать минус» из отрицательного знаменателя, оставив числитель без изменения.

Это легко доказать умножением числителя и знаменателя на −1: a/(−b) = (−a)/b при b ≠ 0. Важно не путать такое преобразование с умножением всей дроби на −1, которое меняет её значение. Любые рассуждения о знаке знаменателя предполагают, что он не нулевой.

Сначала сформулируйте правило самостоятельно

Запишите своими словами ответы: если в дроби один минус, какой знак имеет её значение? Если два минуса, какой знак? Нужно ли менять числитель при переносе минуса из знаменателя? Затем проверьте обобщение на записи (−4)/(−9), 4/(−9) и (−4)/9. Первая положительна, две последние равны друг другу и отрицательны.

Контрпример к подозрительному утверждению

Фраза «можно всегда сделать знаменатель положительным, просто вычеркнув его минус» неверна. Достаточно взять 2/(−5) = −0,4: вычёркивание минуса дало бы 2/5 = +0,4, то есть противоположное число. Правильное равенство: 2/(−5) = (−2)/5. В самостоятельных заданиях найдите и похожие неверные утверждения.

Отдельно различайте три операции: сменить знак только знаменателя, сменить знаки одновременно и заменить числитель с знаменателем пропорциональными числами. Первая операция обычно даёт противоположное рациональное число; вторая и третья сохраняют значение. Если после преобразования дробь стала положительной, а раньше у её числителя и знаменателя были разные знаки, действие почти наверняка выполнено неправильно. Проверка простым умножением обеих частей равенства на положительное число позволяет обнаружить такую ошибку без десятичного приближения.

Четырнадцать задач на равенство и исправление ошибки

1. Проверьте равенство (7)/(-12) = −7/12. Покажите перенос минуса и сокращение, если оно возможно.
2. Проверьте утверждение ученика (-9)/(-14) = −9/14. Найдите верное значение и объясните причину ошибки.
3. Верно ли, что (-11)/(18) = (11)/(-18)? Переведите обе записи в форму с положительным знаменателем и проверьте.
4. Приведите (5)/(-16) к дроби с положительным знаменателем. Придумайте вторую эквивалентную запись с отрицательным знаменателем, умножив числитель и знаменатель на 2.
5. Проверьте равенство (-13)/(-20) = 13/20. Покажите перенос минуса и сокращение, если оно возможно.
6. Проверьте утверждение ученика (17)/(-24) = 17/24. Найдите верное значение и объясните причину ошибки.
7. Верно ли, что (-8)/(-15) = (8)/(15)? Переведите обе записи в форму с положительным знаменателем и проверьте.
8. Приведите (19)/(-25) к дроби с положительным знаменателем. Придумайте вторую эквивалентную запись с отрицательным знаменателем, умножив числитель и знаменатель на 2.
9. Проверьте равенство (-21)/(-28) = 3/4. Покажите перенос минуса и сокращение, если оно возможно.
10. Проверьте утверждение ученика (23)/(-40) = 23/40. Найдите верное значение и объясните причину ошибки.
11. Верно ли, что (-17)/(-30) = (17)/(30)? Переведите обе записи в форму с положительным знаменателем и проверьте.
12. Приведите (31)/(-50) к дроби с положительным знаменателем. Придумайте вторую эквивалентную запись с отрицательным знаменателем, умножив числитель и знаменатель на 2.
13. Проверьте равенство (-29)/(-36) = 29/36. Покажите перенос минуса и сокращение, если оно возможно.
14. Проверьте утверждение ученика (37)/(-60) = 37/60. Найдите верное значение и объясните причину ошибки.

Ответы и обоснование каждого перехода

1. 1. 7/-12 = −7/12; равенство верно. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
2. 2. -9/-14 = 9/14; предложено −9/14 — неверно, знак противоположный. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
3. 3. -11/18 = −11/18; (11)/(-18) = −11/18, равенство верно: оба знака поменялись. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
4. 4. 5/-16 = −5/16; ещё одна равная запись: (10)/(-32), потому что обе части дроби умножены на 2. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
5. 5. -13/-20 = 13/20; равенство верно. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
6. 6. 17/-24 = −17/24; предложено 17/24 — неверно, знак противоположный. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
7. 7. -8/-15 = 8/15; (8)/(15) = 8/15, равенство верно: оба знака поменялись. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
8. 8. 19/-25 = −19/25; ещё одна равная запись: (38)/(-50), потому что обе части дроби умножены на 2. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
9. 9. -21/-28 = 3/4; равенство верно. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
10. 10. 23/-40 = −23/40; предложено 23/40 — неверно, знак противоположный. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
11. 11. -17/-30 = 17/30; (17)/(30) = 17/30, равенство верно: оба знака поменялись. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
12. 12. 31/-50 = −31/50; ещё одна равная запись: (62)/(-100), потому что обе части дроби умножены на 2. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
13. 13. -29/-36 = 29/36; равенство верно. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.
14. 14. 37/-60 = −37/60; предложено 37/60 — неверно, знак противоположный. Проверка: числитель и знаменатель изменены одновременно, значение сохраняется; знаменатель не равен нулю.

Проверка итогового вывода

Если две дроби записаны с отрицательными знаменателями, сначала нормализуйте обе записи, затем сравнивайте числители и знаменатели. Дроби могут быть равными даже при различных исходных числителях: например, кратные записи одной дроби. Но изменение только одного знака без компенсирующего изменения другой части всегда меняет знак всего числа, кроме нулевой дроби. Случай нулевого числителя особенно полезен для проверки: 0/(−7) и 0/7 оба равны нулю.

Попросите одноклассника проверить два доказательства двумя методами: сменой обоих знаков и перекрёстным умножением. При перекрёстном умножении равенство a/b = c/d проверяется через a·d = c·b, где b и d не равны нулю. Этот контроль помогает отличать равенство значений от внешнего сходства записи.