Проверка записи числа разными способами с числами на одинаковом расстоянии от нуля — задачи с решениями для 6 класса

Математика · 6 класс · Рациональные числа. Анализ ошибок и задачи о равных модулях при разных представлениях противоположных чисел

Разбор неправильного решения: пять различных заблуждений

Нулевая точка — центр симметрии числовой прямой. У чисел a и −a совпадают модули, потому что они одинаково далеко от нуля, но равенство a = −a возможно только при a=0. Поэтому нужно различать три вопроса: одинаковы ли сами значения; равны ли их модули; являются ли они противоположными. Эти вопросы имеют разные ответы.

В заданиях 1–5 сначала назовите тип ошибки: смешение равенства и равенства модулей, неправильный поиск противоположного числа, неверное преобразование десятичной записи, ошибочный второй минус или неправильное сравнение модулей. Затем объясните, почему исправление подтверждается числовой прямой.

1. Ученик утверждает: −1,8 и 1,8 — равные числа, ведь их модули совпадают.
2. Ученик написал: число, противоположное −5/8, равно −0,625.
3. Ученик заявил: пара 2,3 и −23/10 расположена на разном расстоянии от нуля.
4. Ученик выполнил преобразование: −(−1,25) = −1,25.
5. Ученик сравнил: |−7/20| < |0,3|, потому что −7/20 — отрицательное число.

Исправления первых пяти ошибок

1. 1. Числа противоположны, но не равны: −1,8 ≠ 1,8, а |−1,8| = |1,8| = 1,8.
2. 2. Противоположное к −5/8 число +5/8 = 0,625; −0,625 — исходное, а не противоположное.
3. 3. 2,3 = 23/10; модули 2,3 и −23/10 равны, расстояния от нуля одинаковы.
4. 4. Два последовательных знака минус дают положительный результат: −(−1,25)=1,25.
5. 5. |−7/20| = 0,35, а |0,3| = 0,3; верный знак — >. Модуль не бывает отрицательным.

Тематические карточки: 6–16

Для решения следующих одиннадцати задач запишите сначала координату, затем её противоположное значение, после чего найдите два модуля. Если рациональное число дано в виде обыкновенной дроби, переведите его в десятичную запись только при точном конечном представлении. Все дроби этой серии имеют конечные десятичные записи, поэтому округлять не требуется.

6. Дано число −0,85. Запишите противоположное число обыкновенной дробью, вычислите два модуля и объясните, равны ли сами числа.
7. Дана дробь 11/8. Найдите ей противоположную координату в десятичной форме и подтвердите равенство расстояний до нуля.
8. Координаты −9/25 и 0,36 записаны по-разному. Проверьте равенство их модулей, а затем определите, равны ли сами числа.
9. Дано число −1,9. Запишите противоположное число обыкновенной дробью, вычислите два модуля и объясните, равны ли сами числа.
10. Дана дробь 7/16. Найдите ей противоположную координату в десятичной форме и подтвердите равенство расстояний до нуля.
11. Координаты −41/20 и 2,05 записаны по-разному. Проверьте равенство их модулей, а затем определите, равны ли сами числа.
12. Дано число −0,325. Запишите противоположное число обыкновенной дробью, вычислите два модуля и объясните, равны ли сами числа.
13. Дана дробь 29/8. Найдите ей противоположную координату в десятичной форме и подтвердите равенство расстояний до нуля.
14. Координаты −23/50 и 0,46 записаны по-разному. Проверьте равенство их модулей, а затем определите, равны ли сами числа.
15. Дано число −2,7. Запишите противоположное число обыкновенной дробью, вычислите два модуля и объясните, равны ли сами числа.
16. Дана дробь 37/25. Найдите ей противоположную координату в десятичной форме и подтвердите равенство расстояний до нуля.

Ключ к карточкам 6–16

6. 6. Противоположное число: 17/20; модули обеих точек равны 17/20. Сами числа не равны, потому что −0,85 ≠ 0,85.
7. 7. Искомое число −1,375; |11/8| = |−1,375| = 11/8. Проверка: сумма противоположных координат равна нулю.
8. 8. |−9/25| = |0,36| = 9/25; координаты различны, поскольку их знаки противоположны.
9. 9. Противоположное число: 19/10; модули обеих точек равны 19/10. Сами числа не равны, потому что −1,9 ≠ 1,9.
10. 10. Искомое число −0,4375; |7/16| = |−0,4375| = 7/16. Проверка: сумма противоположных координат равна нулю.
11. 11. |−41/20| = |2,05| = 41/20; координаты различны, поскольку их знаки противоположны.
12. 12. Противоположное число: 13/40; модули обеих точек равны 13/40. Сами числа не равны, потому что −0,325 ≠ 0,325.
13. 13. Искомое число −3,625; |29/8| = |−3,625| = 29/8. Проверка: сумма противоположных координат равна нулю.
14. 14. |−23/50| = |0,46| = 23/50; координаты различны, поскольку их знаки противоположны.
15. 15. Противоположное число: 27/10; модули обеих точек равны 27/10. Сами числа не равны, потому что −2,7 ≠ 2,7.
16. 16. Искомое число −1,48; |37/25| = |−1,48| = 37/25. Проверка: сумма противоположных координат равна нулю.

Проверка понимания, а не угадывания знака

Можно пользоваться двумя эквивалентными тестами: a + b = 0 подтверждает противоположность двух координат, а |a| = |b| подтверждает равенство расстояний до нуля. Второе равенство не всегда доказывает противоположность разных чисел: если a=b≠0, модули тоже равны, но точки совпадают. При выполнении карточки явно проговорите это различие.

Для самопроверки выставьте по одному баллу за каждое правильно исправленное утверждение (1–5) и по одному баллу за каждое полное решение (6–16). Максимум 16 баллов. Ошибки с модулем исправляются рисунком симметричных точек относительно нуля; ошибки с переводом дробей — проверкой умножением на знаменатель.