Проверка утверждения о среднем в задаче о ежедневном времени занятий: самостоятельная работа, 6 класс

Шестиклассник ведёт дневник самостоятельных занятий. Важно проверять не только результат деления, но и то, сколько дней действительно учитывается: среднее за пять дней и среднее за неделю — разные величины.

Исходный дневник занятий

В журнале семь наблюдений. Подсчёт по колонкам: 30 + 40 + 55 + 45 + 35 + 25 + 50 = 280 минут; среднее 280 : 7 = 40 минут. Это разобранный образец. Ниже условия меняются — прежние ответы автоматически уже не подходят.

Почему среднее за неделю — не время каждого дня

Из исходной таблицы видно, что в среду получилось 55 минут, а в субботу — 25. Между ними разница в 30 минут, однако общий средний показатель составляет 40. Получив ответ «40», нельзя приписывать по 40 минут понедельнику, четвергу или воскресенью. Среднее не описывает расписание по дням, а выражает общий объём занятий, равномерно распределённый на одинаковое число дней.

Два журнала занятий могут иметь одинаковый средний результат, хотя их распределение по дням совсем разное. Например, первая неделя дана в таблице; в другой можно заниматься каждый день ровно по 40 минут. Оба варианта дают 280 минут за семь дней. Если нужно решить, в какой неделе занятия были равномернее, одного среднего недостаточно: следует сравнить ещё наименьший и наибольший результат. В данном задании главное — проверить именно утверждения об арифметическом среднем, не смешивая его с оценкой равномерности расписания.

Как оформить обратную проверку

Для задач на изменение одного дня полезно держать в тетради три строки. Первая: «старая сумма» — 280 минут. Вторая: «изменение» — сколько прибавилось или убавилось. Третья: «новое среднее» — новая сумма, делённая на новое число наблюдений. Время измеряется в минутах, поэтому и результат сложения, и сумма за неделю, и разность двух сумм имеют единицу «мин». А среднее, хотя получается делением на количество дней, в учебной записи удобно называть «минут в день».

Самостоятельная работа: проверка гипотез

1. Найдите общую продолжительность занятий за семь дней.
2. Проверьте утверждение «среднее составляет 45 минут в день».
3. В понедельник вместо 30 минут занимались 44 минуты. Каково новое недельное среднее?
4. Измените только воскресенье так, чтобы среднее недели стало 42 минуты. Сколько минут должно быть в воскресенье?
5. Найдите сумму и среднее только за понедельник—пятницу (пять дней).
6. Ученик отбросил субботу с её 25 минутами, но по-прежнему делил новую сумму на 7. Объясните две ошибки и найдите правильное среднее шести оставшихся дней.
7. Чтобы среднее недели выросло с 40 до 44 минут, на сколько минут должна увеличиться недельная сумма?
8. Если изменить только субботу, сколько минут нужно записать вместо 25, чтобы среднее стало 44?

Продолжение: обратные задачи

9. Замените вторник 40 минут на 20, а воскресенье 50 на 70. Изменится ли недельное среднее?
10. Если в пятницу было не 35, а 49 минут, чему равно среднее семи дней?
11. Восьмой день продолжался 48 минут. Вычислите среднее за восемь дней.
12. Какую длительность восьмого дня нужно добавить, чтобы среднее осталось 40 минут?
13. При сумме 280 минут за семь дней какая общая длительность необходима для среднего 43 минуты? На сколько больше нынешней?
14. Известны шесть длительностей: 30, 40, 55, 45, 35 и 25 минут. Найдите седьмую, если среднее семи дней равно 40.
15. Новая неделя: 20, 50, 45, 55, 30, 40, 40 минут. Одинаково ли среднее с исходной неделей? Совпадают ли размахи?
16. Проверьте вывод: «среднее по субботе и воскресенью — 37,5 минуты, значит за всю неделю среднее тоже 37,5». Почему нельзя так заключать?

Разбор и обратная проверка каждого результата

1. 30 + 40 + 55 + 45 + 35 + 25 + 50 = 280 минут.
2. Неверно: 280 : 7 = 40 минут. Для среднего 45 потребовалось бы 45 × 7 = 315 минут.
3. Сумма увеличится на 44 − 30 = 14: 280 + 14 = 294; 294 : 7 = 42 минуты. Обратная проверка: 42 × 7 = 294.
4. Требуется 42 × 7 = 294 минуты, то есть плюс 14 к сумме. Воскресенье: 50 + 14 = 64 минуты.
5. Пять дней дают 30 + 40 + 55 + 45 + 35 = 205 минут; 205 : 5 = 41 минута.
6. Без субботы сумма 280 − 25 = 255, дней осталось 6, поэтому 255 : 6 = 42,5 минуты. Ошибки: исключили значение, но оставили прежний делитель; и сделали вывод о той же семидневной неделе.
7. 44 × 7 − 280 = 308 − 280 = 28 минут. Новая сумма 308 минут.
8. Суббота должна быть 25 + 28 = 53 минуты. Проверка: 280 − 25 + 53 = 308; 308 : 7 = 44.
9. Нет: изменение −20 + 20 = 0. Сумма останется 280, среднее 40 минут.
10. Прибавка 49 − 35 = 14. Сумма 294; среднее 42 минуты.
11. (280 + 48) : 8 = 328 : 8 = 41 минута. Делить теперь следует на 8, а не на 7.
12. Новая сумма должна быть 40 × 8 = 320. Восьмой день: 320 − 280 = 40 минут.
13. 43 × 7 = 301 минута, что на 301 − 280 = 21 минуту больше.
14. Известная сумма 30 + 40 + 55 + 45 + 35 + 25 = 230. Искомая длительность 40 × 7 − 230 = 50 минут.
15. Новая сумма 20 + 50 + 45 + 55 + 30 + 40 + 40 = 280, среднее 40. Размах новой недели 55 − 20 = 35; исходной 55 − 25 = 30.
16. По выходным среднее (25 + 50) : 2 = 37,5, но остальные пять дней имеют другую сумму и другой набор значений. По всей неделе среднее 40.

Как провести самопроверку

Задания 3 и 11 показывают один и тот же новый средний результат, но меняют разные исходные дни: в первом случае понедельник, во втором — пятницу. Решение нужно проверять от заданной таблицы, а не переписывать соседний ответ без вычислений. В задании 10 два изменения компенсируют друг друга, поэтому среднее не меняется, хотя само расписание стало иным. В задании 15 средняя длительность тоже сохраняется, но размах меняется. Это хороший способ убедиться, что один показатель не заменяет все остальные свойства данных.

Как объяснить ошибку в среднем

Если ученики получили разные ответы, сначала сравните не частное, а сумму и число учитываемых дней. Частая ошибка — прибавить восьмой день к сумме, но продолжать делить на семь. Другая — считать среднее двух дней средним всей недели без учёта пяти остальных.

Итоговое правило: сначала устанавливаем, какие наблюдения входят в выборку, потом складываем их, делим на фактическое количество и в конце проверяем ответ умножением на это количество. Длительность выражаем в минутах; оценка «40 минут в день» описывает среднее, а не утверждает, что каждый день длился ровно 40 минут.