Сравнение двух наборов измерений в задаче о ежедневном времени занятий — мини-практикум с ответами, 6 класс

Маршрут «Как распределить время занятий» · 6 класс. У двух школьников одинаковая средняя продолжительность ежедневных занятий, но разная равномерность расписания. Проанализируйте не пожелания, а измеренные минуты за одну учебную неделю.

Станция «лёгкий старт»

Прочитайте таблицу по строкам, затем по столбцам. Каждая строка относится к одному дню, а каждый столбец — к одному школьнику. Чтобы получить среднее время, сложите пять чисел и разделите на пять. Чтобы получить размах, вычтите из наибольшего времени наименьшее. Не путайте эти действия: среднее учитывает весь набор, а размах — только его крайние числа.

1. Сколько минут всего занималась Дина за пять дней?
2. Сколько минут всего занимался Арман?
3. Найдите среднее ежедневное время Дины.
4. Найдите среднее ежедневное время Армана.
5. Какой день у Дины самый короткий, какой самый длинный?
6. Вычислите размах Дины.

Развилка «ошибка или верно»

Один ученик заявил: «Если оба в среднем занимались по 30 минут, то у них одинаковое расписание». Второй возразил, что равные средние не гарантируют одинаковых дневных результатов. Решите, кто прав, через числовые данные и найдите по одному дню, который служит контрпримером. Если хотите сравнить именно равномерность по размаху, нужно подсчитать обе разности максимумов и минимумов.

7. Вычислите размах Армана.
8. Чьи результаты менее ровные по размаху?
9. Правда ли, что в каждый день они учились одинаково, раз средние равны?
10. Сколько дней Дина занималась дольше среднего времени 30 минут?
11. Сколько дней Арман занимался дольше 30 минут?
12. Во вторник кто занимался дольше и на сколько минут?

Следующая ступень — изменения расписания

Теперь изменяются не названия дней, а сами величины. Перестановка мест дней сохраняет среднее и размах, а прибавление одинакового числа минут ко всем дням увеличивает среднее, но сохраняет размах. Замена лишь одного дня влияет на сумму, а иногда и на минимум или максимум. Поэтому после каждого изменения заново проверьте, какие величины действительно поменялись.

13. Если поменять местами четверг и пятницу Армана, изменятся ли среднее и размах?
14. Если Дина каждый день увеличит занятия на 10 минут, каким будет новое среднее?
15. Чему будет равен размах Дины после прибавления 10 минут каждый день?
16. Арман вместо 10 минут в понедельник занимался 30. Найдите новый средний результат.
17. Дина распределила 150 минут поровну между пятью днями. Каковы среднее и размах?
18. Новый график Дины: 22; 34; 28; 36; 30 минут. Сравните его размах с исходным при том же среднем.

Обратите внимание на два варианта изменения расписания: в одном случае переносится занятие с одного дня на другой, в другом — увеличивается длительность каждого занятия. Первое может поменять размах, даже когда недельная сумма не меняется; второе увеличивает недельную сумму ровно на 5·10=50 минут. Если вы назвали новый средний результат, проверьте его обратным действием: умножьте на количество дней. Это быстрый способ обнаружить ошибку в делителе.

Какой план предпочтительнее, зависит от цели. Если нужен одинаковый объём занятий каждый день, главным показателем может стать размах: меньшее значение говорит о меньшем различии крайних дней. Если нужно сравнить суммарную учебную нагрузку, важнее недельная сумма. Если требуется сравнить типичное количество минут в день, обращайтесь к среднему. Один показатель не решает одновременно все три задачи.

Попробуйте пересчитать график Дины после того, как занятия во вторник и четверг поменяли местами. Показатели не изменятся, хотя день самого длительного занятия станет другим. Такая мысленная проверка показывает разницу между таблицей по датам и набором чисел, по которому считаются среднее и размах. В математическом описании важно назвать, какие именно данные изменились: порядок, отдельное значение или все значения сразу.

Ключ к маршруту

1. 20+35+25+40+30=150 минут.
2. 10+25+30+45+40=150 минут.
3. 150:5=30 минут в день.
4. 150:5=30 минут в день; средние совпадают.
5. Понедельник 20 минут; четверг 40 минут.
6. 40−20=20 минут.
7. 45−10=35 минут.
8. У Армана: 35 больше 20 на 15 минут.
9. Нет: в понедельник 20 минут у Дины и 10 у Армана, хотя средние равны.
10. Два: вторник 35 и четверг 40. Ровно 30 не считается «дольше».
11. Два: четверг 45 и пятница 40.
12. Дина на 35−25=10 минут.
13. Нет: изменится только порядок, сумма и крайние значения прежние; среднее 30, размах 35.
14. 40 минут: к каждому наблюдению и к среднему добавлено 10.
15. 20 минут: новый максимум 50, минимум 30; разность 20.
16. Сумма 150+20=170, среднее 170:5=34 минуты; размах 20 минуты.
17. Каждый день 150:5=30 минут. Среднее 30, размах 30−30=0 минут.
18. Среднее по-прежнему 30: сумма 150; размах 36−22=14 минут, то есть на 6 минут меньше прежнего.

Обсудите ещё одну проверку разумности: в наборе из пяти дней среднее время обязано лежать между минимальным и максимальным значениями. Для Дины среднее 30 находится между 20 и 40, а для Армана — между 10 и 45. Если получилось среднее больше самого долгого дня или меньше самого короткого, где-то допущена арифметическая ошибка. Это простое свойство удобно применять до сверки с готовым ключом.

При сравнении среднего и размаха не называйте набор «лучше» без уточнения цели. В расписании для подготовки к контрольной один длинный день может быть обоснован, а равномерная ежедневная работа может быть удобнее для другой задачи. Наши вычисления позволяют сравнить величины, но не подменяют реальную оценку режима занятий. В ответе достаточно сказать, чьи результаты имеют меньший размах и почему.

Исправление ошибок после самопроверки

Если в среднем вы разделили сумму не на число дней, исправьте знаменатель: строк ровно пять. Если получили отрицательный размах, переставьте крайние значения: всегда вычисляйте максимум минус минимум. Если решили, что у Дины одинаковые результаты во все дни, покажите по таблице 20 и 40 — этого достаточно, чтобы опровергнуть такое утверждение.

Показатель «меньший размах» — удобное, но не полное описание равномерности: он не показывает, как распределены остальные дни. Поэтому не делайте вывод о прилежании или качестве учёбы по одному столбцу. Для математической задачи достаточно обоснованно сравнить длительность, сумму, среднее и крайние значения, сохраняя единицу измерения — минуту.