Обнаружение выброса в таблице при равных средних и разных размахах — упражнения разной сложности, 6 класс

6 класс · поиск необычного значения с обратной проверкой. Работайте с таблицей измерений. Здесь слово «выброс» означает подозрительно отличающееся наблюдение, которое стоит проверить по контексту, а не автоматически удалить. Размах помогает его заметить, но одного размаха недостаточно для строгого статистического заключения.

Разобранный случай: равные средние при неодинаковой изменчивости

Проверка начинается с суммы: в обоих столбцах пять значений и сумма 100. Поэтому среднее у каждого равно 20. Но Б содержит число 30, которое значительно выше остальных четырёх значений. Между 19 и 30 — промежуток 11, тогда как внутри группы 16, 17, 18, 19 соседние значения отличаются на 1. Это основание проверить 30 как возможный выброс. Говорить «это точно ошибка» нельзя: иногда необычный результат отражает реальное событие.

Обратная проверка: что будет, если удалить крайнее число?

Для набора Б удалим 30 только в качестве мысленного эксперимента. Остаётся 16, 17, 18, 19; их сумма 70, среднее 17,5, размах 3. Видно, как один большой результат удерживал исходное среднее на уровне 20. Но удалять измерение из настоящего отчёта без причины нельзя: сначала убедитесь, что прибор работал неверно, запись сделана с ошибкой или есть другое обоснование. Показатель среднего после удаления относится уже к четырём наблюдениям.

Сравнение с набором А показывает, что одинаковое среднее и разный размах совместимы. Результаты А близки к 20, а Б группируются возле 16–19 и имеют один высокий результат. Чтобы доказать наблюдение, приведите не только среднее, но и фактические значения, минимум, максимум, а также расстояние подозрительного числа до соседних результатов. Так вы отличаете вычисление от интерпретации данных.

Серия 1 — вычислите и объясните

1. Вычислите среднее первого и второго набора из основной таблицы.
2. Сравните размах обоих рядов.
3. Какое значение в Б выглядит необычным и почему?
4. Удалите из Б только 30. Каковы новые среднее и размах?
5. Удалите из А максимальный результат 22. Каковы новые среднее и размах?

Серия 2 — измените измерения и проверьте вывод обратным ходом

6. В наборе Б заменили 30 на 20. Новое среднее и размах?
7. В наборе Б заменили 16 на 18. Как изменились показатели?
8. В наборе Б одновременно заменили 30 на 26 и 16 на 20. Найдите среднее.
9. Можно ли при среднем 20 иметь размах 4 и наблюдение 30?
10. У наборов В (9; 10; 11; 12; 13) и Г (7; 8; 9; 10; 21) вычислите среднее.

В задании о невозможности полезно применить рассуждение от противного. Если максимум равен 30, а размах только 4, все значения лежат не ниже 26. Среднее таких чисел не может оказаться равным 20. Это доказательство без перебора возможных пятёрок чисел.

Серия 3 — второе измерение и критические утверждения

11. Укажите размахи В и Г и возможный необычный результат.
12. Если у Г убрать 21, чему станет равным среднее?
13. Как изменится среднее Г, если прибавить к каждому результату 3?
14. Сравните медианы А и Б при одинаковых средних.
15. Верно ли считать любое максимальное значение выбросом?

Почему одинаковое среднее не устраняет подозрение на выброс

Если одно наблюдение заметно увеличилось, другие могут быть меньше ровно настолько, чтобы сумма и среднее сохранились. Похожая величина среднего не является доказательством того, что ряды одинаковы или одинаково стабильны. Для первичной проверки удобно поставить рядом две группы наблюдений и сравнить промежутки между соседними упорядоченными значениями. Если необычное число — результат реального измерения, оно должно остаться в данных, хотя иногда полезно дополнительно показать результаты с ним и без него.

В реальном эксперименте необычное наблюдение может возникнуть из-за ошибки измерительного прибора, неверно записанной цифры или действительно редкого события. Поэтому правильная последовательность такая: сначала отметьте число, заметно отделяющееся от остальных; затем пересчитайте сумму и среднее, сравните размахи; после этого выясните смысл результата. Если причина неизвестна, не стирайте значение из исходной таблицы. Его можно дополнительно обсудить отдельно, но сам набор нужно сохранять без произвольных исправлений.

Полезна и обратная проверка после замены числа. Если подозрительное значение 30 заменить на 26, а значение 16 одновременно увеличить до 20, сумма останется прежней: первая операция уменьшает сумму на 4, вторая увеличивает её на 4. Значит, среднее обязательно сохранится. Но минимум и максимум изменятся, а потому размах станет другим. Так по одной паре действий видно, почему среднее не характеризует всю изменчивость набора.

Среднее и медиана дают два разных взгляда на таблицу. В исходном наборе Б среднее равно 20, а центральное по порядку число равно 18. Это расхождение не позволяет само по себе объявить 30 ошибкой, но делает проверку необычного результата осмысленной. Для пяти чисел медиана — третье значение после упорядочивания. Она не требует складывать все числа; среднее, напротив, зависит от каждого результата и может заметно сдвигаться при появлении большого значения.

Ключ с обратными проверками и объяснениями

1. А: 100:5=20; Б: (16+17+18+19+30):5=100:5=20. Средние равны.
2. А: 22−18=4; Б: 30−16=14. Размах Б в 3,5 раза больше.
3. 30: ближайший меньший результат 19, промежуток 11, а между остальными соседними значениями разность 1.
4. Остаются 16, 17, 18, 19: среднее 70:4=17,5; размах 19−16=3.
5. Остаются 18, 19, 20, 21: среднее 78:4=19,5; размах 21−18=3.
6. Сумма 90, среднее 90:5=18; размах 20−16=4. Среднее уже не равно исходному.
7. Сумма выросла на 2, среднее стало 102:5=20,4; размах 30−17=13.
8. Сумма прежняя: −4+4=0; среднее 20. Новый набор 20,17,18,19,26, размах 26−17=9.
9. Нет: если 30 — максимум, минимум не ниже 26, следовательно, все числа не меньше 26, а среднее не может быть 20.
10. У каждого сумма 55, среднее 11.
11. В: 13−9=4; Г: 21−7=14. В Г значение 21 далеко от 10 — возможный выброс.
12. Остаётся 7+8+9+10=34, среднее 34:4=8,5. Это не «исправленное» исходное среднее, а характеристика другого набора.
13. Среднее 11+3=14; размах останется 14. Подозрительное значение 21 превратится в 24.
14. А после упорядочивания имеет среднее по порядку число 20, то есть медиану 20. У Б медиана 18. Среднее 20 у обоих.
15. Нет. Самое большое число есть в каждом непустом конечном наборе. Подозрение на выброс обосновывается заметным отличием и контекстом измерения.

Запишите собственный вывод для пары В и Г в два предложения. Первое должно быть вычислительным: «Средние равны 11, но размахи равны 4 и 14». Второе должно быть осторожным: «Число 21 в Г заметно отделено от соседних значений и заслуживает дополнительной проверки». Разделение факта и гипотезы важно: математическая таблица подтверждает расстояния между числами, но не сообщает, почему именно произошло необычное наблюдение.

Обратите внимание, что в разных заданиях изменяются разные части данных: где-то одно наблюдение удаляется, где-то заменяется, а где-то одновременно меняются два значения с сохранением общей суммы. Поэтому нельзя переносить ответ о среднем или размахе из одного пункта в другой без нового вычисления.