Восстановление коэффициента одночлена с дробными степенными множителями — диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · Исследовательская диагностика. В этой работе «дробные степенные множители» означают обыкновенные дроби в числовых коэффициентах, умножаемые на степени переменных с целыми неотрицательными показателями. Дробные показатели степеней здесь не используются: они относятся к другой теме.

Наблюдение: почему делить нужно коэффициенты

Рассмотрим равенство (−2/3)x²y · kxy³ = (−5/6)x³y⁴. Степени совпадают: x²·x = x³ и y·y³ = y⁴. Числа должны удовлетворять (−2/3)k = −5/6, поэтому k = (−5/6) : (−2/3) = 5/4. Подстановка 5/4 возвращает −5/6. Знак и деление дробей — отдельные шаги, которые нельзя пропускать.

Пять подозрительных решений — задания 1–5

Учитель намеренно предложил пять ошибок. Не ограничивайтесь словом «неверно»: найдите число k и назовите, на каком шаге нарушено правило. Равенства проверяйте как тождества одночленов.

№ 1. Восстановите число k: (-2/3)x²y · (kxy³) = (-5/6)x³y⁴. Записан ответ k = 5/9. Верен ли он?

№ 2. Восстановите число k: (3/4)xy² · (kx²y) = (-9/8)x³y³. Записан ответ k = 3/2. Верен ли он?

№ 3. Восстановите число k: (-5/9)x³ · (kxy²) = (10/27)x⁴y². Записан ответ k = -50/243. Верен ли он?

№ 4. Восстановите число k: (7/10)x²y² · (ky) = (21/25)x²y³. Записан ответ k = -6/5. Верен ли он?

№ 5. Восстановите число k: (-4/5)xy³ · (kx²) = (-6/25)x³y³. Записан ответ k = 24/125. Верен ли он?

Сформулируй правило и проверь его на контрпримере — задания 6–8

Чтобы восстановить коэффициент второго множителя, коэффициент произведения делят на коэффициент известного множителя. Если известный коэффициент равен нулю, операция недопустима: равенство может не иметь решений или иметь любое значение k.

№ 6. Восстановите число k: (5/12)xy · (kx³y²) = (-25/18)x⁴y³. Объясните, почему нельзя делить буквенные показатели степеней друг на друга.

№ 7. Восстановите число k: (-7/8)x² · (kx²y²) = (7/16)x⁴y². Объясните, почему нельзя делить буквенные показатели степеней друг на друга.

№ 8. Восстановите число k: (9/14)y² · (kx³y) = (27/49)x³y³. Объясните, почему нельзя делить буквенные показатели степеней друг на друга.

Самостоятельное применение — задания 9–14

1. № 9. Восстановите число k: (-11/15)x³y · (kxy) = (22/45)x⁴y².
2. № 10. Восстановите число k: (2/7)x²y² · (kx²y) = (-6/35)x⁴y³.
3. № 11. Восстановите число k: (-3/8)xy⁴ · (ky²) = (-9/32)xy⁶.
4. № 12. Восстановите число k: (4/9)x³y · (kxy²) = (16/27)x⁴y³.
5. № 13. Восстановите число k: (-5/6)y³ · (kx³y) = (25/18)x³y⁴.
6. № 14. Восстановите число k: (7/12)xy · (kxy⁴) = (-35/48)x²y⁵.

Решения и доказательные проверки

№ 1. Буквенная часть: x³y⁴. По числовым множителям: (-2/3)·k=-5/6, значит k=(-5/6):(-2/3)=5/4. Проверка: (-2/3)·(5/4)=-5/6. Ошибка в предложенном решении — перепутаны умножение и деление дробей либо неверно учтён знак.

№ 2. Буквенная часть: x³y³. По числовым множителям: (3/4)·k=-9/8, значит k=(-9/8):(3/4)=-3/2. Проверка: (3/4)·(-3/2)=-9/8. Ошибка в предложенном решении — перепутаны умножение и деление дробей либо неверно учтён знак.

№ 3. Буквенная часть: x⁴y². По числовым множителям: (-5/9)·k=10/27, значит k=(10/27):(-5/9)=-2/3. Проверка: (-5/9)·(-2/3)=10/27. Ошибка в предложенном решении — перепутаны умножение и деление дробей либо неверно учтён знак.

№ 4. Буквенная часть: x²y³. По числовым множителям: (7/10)·k=21/25, значит k=(21/25):(7/10)=6/5. Проверка: (7/10)·(6/5)=21/25. Ошибка в предложенном решении — перепутаны умножение и деление дробей либо неверно учтён знак.

№ 5. Буквенная часть: x³y³. По числовым множителям: (-4/5)·k=-6/25, значит k=(-6/25):(-4/5)=3/10. Проверка: (-4/5)·(3/10)=-6/25. Ошибка в предложенном решении — перепутаны умножение и деление дробей либо неверно учтён знак.

№ 6. Буквенная часть: x⁴y³. По числовым множителям: (5/12)·k=-25/18, значит k=(-25/18):(5/12)=-10/3. Проверка: (5/12)·(-10/3)=-25/18.

№ 7. Буквенная часть: x⁴y². По числовым множителям: (-7/8)·k=7/16, значит k=(7/16):(-7/8)=-1/2. Проверка: (-7/8)·(-1/2)=7/16.

№ 8. Буквенная часть: x³y³. По числовым множителям: (9/14)·k=27/49, значит k=(27/49):(9/14)=6/7. Проверка: (9/14)·(6/7)=27/49.

№ 9. Буквенная часть: x⁴y². По числовым множителям: (-11/15)·k=22/45, значит k=(22/45):(-11/15)=-2/3. Проверка: (-11/15)·(-2/3)=22/45.

№ 10. Буквенная часть: x⁴y³. По числовым множителям: (2/7)·k=-6/35, значит k=(-6/35):(2/7)=-3/5. Проверка: (2/7)·(-3/5)=-6/35.

№ 11. Буквенная часть: x¹y⁶. По числовым множителям: (-3/8)·k=-9/32, значит k=(-9/32):(-3/8)=3/4. Проверка: (-3/8)·(3/4)=-9/32.

№ 12. Буквенная часть: x⁴y³. По числовым множителям: (4/9)·k=16/27, значит k=(16/27):(4/9)=4/3. Проверка: (4/9)·(4/3)=16/27.

№ 13. Буквенная часть: x³y⁴. По числовым множителям: (-5/6)·k=25/18, значит k=(25/18):(-5/6)=-5/3. Проверка: (-5/6)·(-5/3)=25/18.

№ 14. Буквенная часть: x²y⁵. По числовым множителям: (7/12)·k=-35/48, значит k=(-35/48):(7/12)=-5/4. Проверка: (7/12)·(-5/4)=-35/48.

Особые случаи: почему правило имеет границу

Если известный числовой множитель A = 0, то A·k = 0 при любом k. При требуемом ненулевом коэффициенте решений нет; при нулевом — k произвольный. Если в обеих частях разные степени переменных, восстановление только числа k не исправит ошибку: например, x²y и xy² не являются одинаковой буквенной частью.