Поиск равных многочленов по заданному значению выражения — карточки с ответами, 7 класс

7 класс · Многочлены. Цель — отличать совпадение значений при одном выбранном x от равенства многочленов при каждом x. Работайте с таблицей, затем доказывайте равенство приведением подобных членов.

Таблица исследователя

В клетках уже записаны значения шести выражений при x = 2 и x = −1. Сначала проверьте арифметику, затем используйте таблицу как источник гипотез — но не как доказательство тождества.

Наблюдение: в столбце x = 2 значение A равно 6. То же число могут давать разные многочлены. Равные многочлены — те, у которых после раскрытия скобок и приведения подобных членов совпадают все коэффициенты.

Шесть вопросов к таблице

1. Проверьте подстановкой число 6 в строке A: отдельно вычислите квадрат, произведение и сумму.
2. Назовите все строки таблицы, в которых при x = 2 получилось 6. Почему пока нельзя записывать между ними знак тождества?
3. В строке Б раскройте скобки и докажите, что выражение совпадает с A при любом x.
4. Определите, совпадают ли многочлены A и Д для всех x; докажите, не используя таблицу.
5. Сравните A и В при x = −1: какое значение опровергает предположение об их тождественном равенстве?
6. Сравните A и Е: при x = 2 они равны, а при x = −1? Укажите одно число, служащее контрпримером.

Продолжение: найди истинное равенство

Для каждой карточки известно, что при указанном значении x результаты совпали. Решите, являются ли выражения тождественно равными. Если нет — приведите один контрпример. Не делайте вывода только из указанного числа.

1. При x = 1 сравнивали P(x) = 2x² + 3x + 1 и Q(x) = 2x(x + 1) + (1)x + (1). Верно ли тождество P = Q?
2. При x = 2 сравнивали P(x) = 3x² − 2x + 5 и Q(x) = 3x² + 1. Верно ли тождество P = Q?
3. При x = -2 сравнивали P(x) = −x² + 4x + 3 и Q(x) = −x² + 6x + 7. Верно ли тождество P = Q?
4. При x = 3 сравнивали P(x) = 4x² + x − 3 и Q(x) = 4x(x + 1) + (-3)x + (-3). Верно ли тождество P = Q?
5. При x = 0 сравнивали P(x) = 2x² − 5x + 8 и Q(x) = 2x² − 3x + 8. Верно ли тождество P = Q?
6. При x = 1 сравнивали P(x) = −3x² + 2x − 1 и Q(x) = -3x(x + 1) + (5)x + (-1). Верно ли тождество P = Q?
7. При x = -1 сравнивали P(x) = 5x² − 4x + 2 и Q(x) = 5x² − 2x + 4. Верно ли тождество P = Q?
8. При x = 2 сравнивали P(x) = x² + 7x − 6 и Q(x) = 1x(x + 1) + (6)x + (-6). Верно ли тождество P = Q?
9. При x = 3 сравнивали P(x) = −2x² + 3x + 4 и Q(x) = −2x² + 5x − 2. Верно ли тождество P = Q?
10. При x = -2 сравнивали P(x) = 3x² + 6x − 2 и Q(x) = 3x(x + 1) + (3)x + (-2). Верно ли тождество P = Q?

Ключ и доказательства

К таблице

1. A(2) = 2·4 − 3·2 + 4 = 8 − 6 + 4 = 6.
2. 6 получается в A, Б, В, Д и Е; одной общей точки недостаточно: например, A и В различаются при x = −1.
3. Б = 2x² − 5x + 2x − 5 + 9 = 2x² − 3x + 4 = A.
4. Д = x² + x² − 3x + 4 = 2x² − 3x + 4 = A.
5. A(−1) = 2 + 3 + 4 = 9, а В(−1) = 2 + 5 + 8 = 15: это разные многочлены.
6. A(−1) = 9, Е(−1) = 2 + 2 + 2 = 6. Равенство при x = 2 было случайным.

К карточкам 7–16

1. Да. Q = 2x² + 3x + 1 после раскрытия скобок; коэффициенты совпадают.
2. Нет. При x = 3 значения P = 26, Q = 28; совпадение при x = 2 не доказывает тождества.
3. Нет. При x = -1 значения P = -2, Q = 0; совпадение при x = -2 не доказывает тождества.
4. Да. Q = 4x² + x − 3 после раскрытия скобок; коэффициенты совпадают.
5. Нет. При x = 1 значения P = 5, Q = 7; совпадение при x = 0 не доказывает тождества.
6. Да. Q = −3x² + 2x − 1 после раскрытия скобок; коэффициенты совпадают.
7. Нет. При x = 0 значения P = 2, Q = 4; совпадение при x = -1 не доказывает тождества.
8. Да. Q = x² + 7x − 6 после раскрытия скобок; коэффициенты совпадают.
9. Нет. При x = 4 значения P = -16, Q = -14; совпадение при x = 3 не доказывает тождества.
10. Да. Q = 3x² + 6x − 2 после раскрытия скобок; коэффициенты совпадают.

Проверка здравого смысла. Если в примере есть произведение скобок, его нужно полностью раскрыть: только после этого видны коэффициенты при x², x и свободные члены. Числовая подстановка полезна для поиска ошибки, но не заменяет алгебраического доказательства.

Для учителя. Задания 2, 5, 6 и 8, 9, 11, 13, 15 демонстрируют ложный вывод из единственной подстановки. Удобно спросить, чем различаются фразы «равны при x = 2» и «равны при любом x».