Проверка раскрытия скобок после группировки подобных членов — задачи с решениями для 7 класса

7 класс · Многочлены. Здесь сначала собирают подобные слагаемые, затем раскрывают скобки и проверяют, не изменился ли знак каждого члена. Числовая обратная проверка помогает обнаружить ошибку, а окончательное доказательство требует равных коэффициентов.

Образец с обратной проверкой

Рассмотрим 3x + 2x − (4x − 7) + (x − 5). Сначала 3x + 2x = 5x. Теперь 5x − 4x + 7 + x − 5 = 2x + 2. Для x = 3 исходное выражение даёт 8, и 2·3 + 2 тоже даёт 8. Такая проверка подтверждает вычисление в одной точке; равенство при всех x обосновано раскрытием скобок.

Что меняется, если изменить знак скобки?

В записи −(cx − d) после удаления скобок возникает −cx + d, а в записи −(cx + d) получаем −cx − d. Если перед скобкой плюс, знаки внутри остаются прежними. Полезно записать промежуточную строку: одна потерянная смена знака способна изменить весь ответ.

Серия из 16 проверок

В каждой задаче дан ответ ученика. Установите, верен ли он. Затем найдите собственное упрощение и выполните обратную подстановку указанного x. В заданиях с «неверно» исправление обязательно.

1. 2x + 1x − (1x − 2) + (1x − 2). Предложено: 3x. Проверьте при x = -3 и затем тождественно.
2. 3(x − 4) + 3x − (3x + 5) + 7. Предложено: 3x − 9. Проверьте при x = -1 и затем тождественно.
3. 4x − (2x + 5 − 4x) + (2 − 6x). Предложено: x − 3. Проверьте при x = 0 и затем тождественно.
4. −(5x − 5) + (1x − 5) + 6x + 5. Предложено: 2x + 5. Проверьте при x = 2 и затем тождественно.
5. 6x + 3x − (3x − 6) + (3x − 4). Предложено: 9x + 2. Проверьте при x = 3 и затем тождественно.
6. 2(x − 1) + 5x − (7x + 7) + 3. Предложено: −5. Проверьте при x = 4 и затем тождественно.
7. 3x − (4x + 1 − 8x) + (4 − 2x). Предложено: 6x + 5. Проверьте при x = -2 и затем тождественно.
8. −(4x − 2) + (3x − 2) + 1x + 7. Предложено: 7. Проверьте при x = 1 и затем тождественно.
9. 5x + 5x − (5x − 3) + (5x − 6). Предложено: 10x − 3. Проверьте при x = -3 и затем тождественно.
10. 6(x − 3) + 1x − (4x + 2) + 5. Предложено: 3x − 14. Проверьте при x = -1 и затем тождественно.
11. 2x − (1x + 3 − 5x) + (6 − 4x). Предложено: 3x + 3. Проверьте при x = 0 и затем тождественно.
12. −(3x − 4) + (5x − 6) + 3x + 3. Предложено: 5x + 1. Проверьте при x = 2 и затем тождественно.
13. 4x + 2x − (1x − 7) + (7x − 2). Предложено: 12x + 5. Проверьте при x = 3 и затем тождественно.
14. 5(x − 5) + 3x − (8x + 4) + 7. Предложено: −21. Проверьте при x = 4 и затем тождественно.
15. 6x − (3x + 5 − 2x) + (1 − 6x). Предложено: −2. Проверьте при x = -2 и затем тождественно.
16. −(2x − 1) + (1x − 3) + 5x + 5. Предложено: 4x + 3. Проверьте при x = 1 и затем тождественно.

Ответы с объяснением

1. Верно. После приведения подобных членов: 3x. При x = -3 исходное значение -9, предложенное -9. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
2. Неверно. После приведения подобных членов: 3x − 10. При x = -1 исходное значение -13, предложенное -12. Обратная подстановка уже обнаруживает ошибку.
3. Неверно. После приведения подобных членов: −3. При x = 0 исходное значение -3, предложенное -3. Даже совпадение значений в этой точке не делает выражения тождественно равными.
4. Верно. После приведения подобных членов: 2x + 5. При x = 2 исходное значение 9, предложенное 9. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
5. Верно. После приведения подобных членов: 9x + 2. При x = 3 исходное значение 29, предложенное 29. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
6. Неверно. После приведения подобных членов: −6. При x = 4 исходное значение -6, предложенное -5. Обратная подстановка уже обнаруживает ошибку.
7. Неверно. После приведения подобных членов: 5x + 3. При x = -2 исходное значение -7, предложенное -7. Даже совпадение значений в этой точке не делает выражения тождественно равными.
8. Верно. После приведения подобных членов: 7. При x = 1 исходное значение 7, предложенное 7. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
9. Верно. После приведения подобных членов: 10x − 3. При x = -3 исходное значение -33, предложенное -33. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
10. Неверно. После приведения подобных членов: 3x − 15. При x = -1 исходное значение -18, предложенное -17. Обратная подстановка уже обнаруживает ошибку.
11. Неверно. После приведения подобных членов: 2x + 3. При x = 0 исходное значение 3, предложенное 3. Даже совпадение значений в этой точке не делает выражения тождественно равными.
12. Верно. После приведения подобных членов: 5x + 1. При x = 2 исходное значение 11, предложенное 11. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
13. Верно. После приведения подобных членов: 12x + 5. При x = 3 исходное значение 41, предложенное 41. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.
14. Неверно. После приведения подобных членов: −22. При x = 4 исходное значение -22, предложенное -21. Обратная подстановка уже обнаруживает ошибку.
15. Неверно. После приведения подобных членов: −x − 4. При x = -2 исходное значение -2, предложенное -2. Даже совпадение значений в этой точке не делает выражения тождественно равными.
16. Верно. После приведения подобных членов: 4x + 3. При x = 1 исходное значение 7, предложенное 7. Совпадение коэффициентов подтверждает тождество.

Диагностика четырёх типичных ошибок

• Забыли сгруппировать подобные члены: складывают только соседние x, хотя после раскрытия скобок подобные слагаемые могут оказаться далеко друг от друга.
• Перед скобкой минус: меняют знак лишь у первого члена; нужно менять у каждого.
• Перепутали подстановку: при x = −2 выражение x² равно 4, а не −4.
• Поверили одной подстановке: два разных выражения иногда имеют одинаковое значение в выбранной точке; проверяйте коэффициенты.

Рабочая процедура для самопроверки: выпишите все слагаемые без скобок, отдельно соберите коэффициенты при x, отдельно — свободные числа, сравните итог с предложенным результатом, затем подставьте x. Для неверного равенства полезно найти вторую точку, в которой значения отличаются.

Разбор по шагам: четыре способа выявить ошибку

Проверка коэффициента при x. Рассмотрим 4x + 3x − (5x − 6) + (2x − 9). После объединения первых двух членов имеем 7x − (5x − 6) + (2x − 9). Раскрываем обе скобки: 7x − 5x + 6 + 2x − 9 = 4x − 3. Ошибка «2x − 3» появилась бы, если бы забыли слагаемое +2x из последней скобки. Для x = 1 исходное и верное итоговое выражения равны 1.

Проверка свободного члена. В записи 5(x − 2) + 3x − (x + 4) знак перед второй скобкой меняет +4 на −4. Получаем 5x − 10 + 3x − x − 4 = 7x − 14. Если оставить +4, получится 7x − 6, то есть ошибка на восемь единиц при любом x. Это удобно заметить без подстановки, сравнив только свободные члены.

Проверка с отрицательным числом. Допустим, предложено 2x − (3x − 8) + x = 8. Это действительно тождество: 2x − 3x + 8 + x = 8. При x = −2 исходное выражение равно −4 − (−6 − 8) − 2 = 8. Не следует «терять» внешнее отрицание перед отрицательным значением скобки.

Почему обратная проверка не заменяет доказательство. Многочлены 3x + 2 и 4x + 1 принимают одинаковое значение 5 при x = 1, но в других точках различаются: при x = 2 это 8 и 9. Поэтому совпадение подстановки — только полезный тест, а сравнение коэффициентов — окончательный вывод. Для самостоятельной проверки после исправления неверного ответа полезно выбрать другое значение x, не указанное в карточке.