Восстановление коэффициентов по точкам при одинаковом значении в одной точке — самостоятельная работа, 7 класс

Задача самостоятельной работы: восстанавливать две разные линейные функции по двум точкам каждой, если известно, что обе проходят через одну общую точку. Важны разность наклонов и обратная проверка найденных коэффициентов.

Почему совпадение в одной точке ничего не говорит о совпадении прямых

Пусть f(x) = k₁x + b₁ и g(x) = k₂x + b₂. Условие «значения одинаковы при x₀» означает лишь k₁x₀ + b₁ = k₂x₀ + b₂. Если k₁ ≠ k₂, прямые могут иметь ровно одну общую точку, однако при соседних значениях x их высоты будут различаться. Чтобы восстановить каждую пару коэффициентов, нужна ещё одна точка соответствующей прямой с другим x.

Полный пример. Прямая f проходит через (1; 8) и (3; 14), а g — через (1; 8) и (4; 2). Наклоны соответственно равны 3 и −2. Поэтому f(x) = 3x + 5, g(x) = −2x + 10. Подстановка x = 1 даёт общий результат 8. Подстановка x = 2 даёт 11 и 6: графики разные.

Четыре самостоятельные ситуации

В каждом блоке выполняйте задачи последовательно: сначала коэффициенты, затем обратная проверка, сравнение соседних значений и опровержение неверного вывода. Числа во второй точке подобраны так, чтобы можно было проверить каждый шаг.

1. Ситуация I: график f проходит через (1; 8) и (3; 14), график g — через (1; 8) и (4; 2). Восстановите f(x) = k₁x + b₁ и g(x) = k₂x + b₂.
2. Для ситуации I докажите равенство f(1) = g(1) двумя подстановками. Откуда известно, что при этих наклонах равенство не может повториться при другом x?
3. Для ситуации I определите значения обеих функций при x = 2 и укажите, какая из них выше.
4. В ситуации I ученик утверждает, что общая точка превращает два графика в одну и ту же прямую. Опровергните утверждение, проверив при x = 0.
5. Ситуация II: график f проходит через (2; 9) и (5; 6), график g — через (2; 9) и (4; 17). Восстановите f(x) = k₁x + b₁ и g(x) = k₂x + b₂.
6. Для ситуации II докажите равенство f(2) = g(2) двумя подстановками. Откуда известно, что при этих наклонах равенство не может повториться при другом x?
7. Для ситуации II определите значения обеих функций при x = 3 и укажите, какая из них выше.
8. В ситуации II ученик утверждает, что общая точка превращает два графика в одну и ту же прямую. Опровергните утверждение, проверив при x = 1.
9. Ситуация III: график f проходит через (-1; 5) и (1; 9), график g — через (-1; 5) и (2; -4). Восстановите f(x) = k₁x + b₁ и g(x) = k₂x + b₂.
10. Для ситуации III докажите равенство f(-1) = g(-1) двумя подстановками. Откуда известно, что при этих наклонах равенство не может повториться при другом x?
11. Для ситуации III определите значения обеих функций при x = 0 и укажите, какая из них выше.
12. В ситуации III ученик утверждает, что общая точка превращает два графика в одну и ту же прямую. Опровергните утверждение, проверив при x = -2.
13. Ситуация IV: график f проходит через (0; 6) и (2; 16), график g — через (0; 6) и (2; 2). Восстановите f(x) = k₁x + b₁ и g(x) = k₂x + b₂.
14. Для ситуации IV докажите равенство f(0) = g(0) двумя подстановками. Откуда известно, что при этих наклонах равенство не может повториться при другом x?
15. Для ситуации IV определите значения обеих функций при x = 1 и укажите, какая из них выше.
16. В ситуации IV ученик утверждает, что общая точка превращает два графика в одну и ту же прямую. Опровергните утверждение, проверив при x = -1.

Решения по номерам

1. f(x) = 3x + 5, g(x) = -2x + 10: наклоны равны (14 − 8)/(3 − 1) = 3 и (2 − 8)/(4 − 1) = -2; свободные члены 5 и 10. Обе исходные вторые точки удовлетворяют формулам.
2. Обе подстановки дают 8. Приравнивание прямых даёт (3 − (-2))x = 10 − (5); коэффициент при x не равен нулю, поэтому решение только x = 1.
3. f(2) = 11, g(2) = 6; выше f, разница 5. У общей точки значения были одинаковы, но через один шаг разошлись.
4. f(0) = 5, g(0) = 10. Значения различны, потому что наклоны 3 и -2 не равны; значит, графики пересекаются, а не совпадают.
5. f(x) = −x + 11, g(x) = 4x + 1: наклоны равны (6 − 9)/(5 − 2) = -1 и (17 − 9)/(4 − 2) = 4; свободные члены 11 и 1. Обе исходные вторые точки удовлетворяют формулам.
6. Обе подстановки дают 9. Приравнивание прямых даёт (-1 − (4))x = 1 − (11); коэффициент при x не равен нулю, поэтому решение только x = 2.
7. f(3) = 8, g(3) = 13; выше g, разница 5. У общей точки значения были одинаковы, но через один шаг разошлись.
8. f(1) = 10, g(1) = 5. Значения различны, потому что наклоны -1 и 4 не равны; значит, графики пересекаются, а не совпадают.
9. f(x) = 2x + 7, g(x) = -3x + 2: наклоны равны (9 − 5)/(1 − -1) = 2 и (-4 − 5)/(2 − -1) = -3; свободные члены 7 и 2. Обе исходные вторые точки удовлетворяют формулам.
10. Обе подстановки дают 5. Приравнивание прямых даёт (2 − (-3))x = 2 − (7); коэффициент при x не равен нулю, поэтому решение только x = -1.
11. f(0) = 7, g(0) = 2; выше f, разница 5. У общей точки значения были одинаковы, но через один шаг разошлись.
12. f(-2) = 3, g(-2) = 8. Значения различны, потому что наклоны 2 и -3 не равны; значит, графики пересекаются, а не совпадают.
13. f(x) = 5x + 6, g(x) = -2x + 6: наклоны равны (16 − 6)/(2 − 0) = 5 и (2 − 6)/(2 − 0) = -2; свободные члены 6 и 6. Обе исходные вторые точки удовлетворяют формулам.
14. Обе подстановки дают 6. Приравнивание прямых даёт (5 − (-2))x = 6 − (6); коэффициент при x не равен нулю, поэтому решение только x = 0.
15. f(1) = 11, g(1) = 4; выше f, разница 7. У общей точки значения были одинаковы, но через один шаг разошлись.
16. f(-1) = 1, g(-1) = 8. Значения различны, потому что наклоны 5 и -2 не равны; значит, графики пересекаются, а не совпадают.

Как проверить своё решение другим способом

Проверьте обе восстановленные прямые в точке их пересечения, а затем подставьте вторую точку, которую использовали при поиске наклона. Третья проверка — сравнение при x₀ + 1. Если значения вдруг остались равны, хотя наклоны различны, где-то допущена ошибка в знаке или свободном члене.

При k₁ = k₂ рассуждение меняется: если и b₁ = b₂, графики совпадают; если свободные члены разные, они параллельны и не имеют общей точки. Поэтому в этой работе пары специально имеют разные наклоны. Отрицательное значение x допустимо: речь об абстрактных координатах, а не о расходе ресурса или времени.

Контрольный вывод. Равенство двух значений — локальное свойство одной точки. Равенство двух формул — гораздо более сильное утверждение, проверяемое по коэффициентам.