Проверка принадлежности точки графику с дробным коэффициентом наклона — задания с разбором, 7 класс

Это печатный лист по линейным функциям y = kx + b с дробным коэффициентом k. Выполните один из двух самостоятельных вариантов, затем сверьтесь с ключом. Цель — проверить принадлежность точки точным счётом без округления.

Памятка: проверка дробного наклона

Для точки (x₀; y₀) вычислите k·x₀ + b. Если результат в точности равен y₀, точка принадлежит прямой. Если не равен — нет. Знак дробного коэффициента обязателен: например, для y = −3x/4 + 2 и x = 8 получаем −6 + 2 = −4, а не 8. Дробные значения лучше сохранять как обычные дроби до последнего шага.

Можно сокращать дробь до умножения: (5/6)·6 = 5. Если x не делится на знаменатель без остатка, вычислите правильную дробь, приведите слагаемые к общему знаменателю и лишь затем сравните с y₀. Равенство или неравенство чисел является доказательством, даже без рисунка графика.

Вариант I — девять точек

1. Для прямой y = 1/2x + 3 проверьте точку (6; 6). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
2. Для прямой y = -3/4x + 2 проверьте точку (8; -4). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
3. Для прямой y = 2/3x − 1 проверьте точку (9; 5). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
4. Для прямой y = 5/6x + 1 проверьте точку (6; 7). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
5. Для прямой y = -1/5x + 4 проверьте точку (10; 2). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
6. Для прямой y = 3/2x − 2 проверьте точку (4; 4). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
7. Для прямой y = 1/4x − 5 проверьте точку (8; -4). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
8. Для прямой y = -2/7x + 3 проверьте точку (14; -1). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
9. Для прямой y = 4/3x + 1 проверьте точку (-3; -3). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.

Вариант II — девять точек

10. Для прямой y = 3/5x − 2 проверьте точку (10; 4). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
11. Для прямой y = -1/2x + 6 проверьте точку (-4; 8). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
12. Для прямой y = 5/8x проверьте точку (16; 10). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
13. Для прямой y = -2/3x − 1 проверьте точку (-6; 3). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
14. Для прямой y = 7/4x − 3 проверьте точку (4; 5). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
15. Для прямой y = -3/5x + 2 проверьте точку (5; -1). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
16. Для прямой y = 2/7x + 4 проверьте точку (7; 7). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
17. Для прямой y = -5/6x проверьте точку (12; -10). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.
18. Для прямой y = 1/3x − 4 проверьте точку (2; -10/3). Ответьте «лежит» или «не лежит» и покажите подстановку.

Ключ для учителя: точные подстановки

Оценивать следует не только слово «да» или «нет», но и верное вычисление правой части. Отдельно отметьте пункты с отрицательной абсциссой: два минуса при умножении дают плюс, но знак свободного члена от этого не меняется.

1. 1/2·(6) + 3 = 6; заданная ордината 6. Точка принадлежит графику.
2. -3/4·(8) + 2 = -4; заданная ордината -4. Точка принадлежит графику.
3. 2/3·(9) − 1 = 5; заданная ордината 5. Точка принадлежит графику.
4. 5/6·(6) + 1 = 6; заданная ордината 7. Точка не принадлежит графику (ординаты различаются).
5. -1/5·(10) + 4 = 2; заданная ордината 2. Точка принадлежит графику.
6. 3/2·(4) − 2 = 4; заданная ордината 4. Точка принадлежит графику.
7. 1/4·(8) − 5 = -3; заданная ордината -4. Точка не принадлежит графику (ординаты различаются).
8. -2/7·(14) + 3 = -1; заданная ордината -1. Точка принадлежит графику.
9. 4/3·(-3) + 1 = -3; заданная ордината -3. Точка принадлежит графику.
10. 3/5·(10) − 2 = 4; заданная ордината 4. Точка принадлежит графику.
11. -1/2·(-4) + 6 = 8; заданная ордината 8. Точка принадлежит графику.
12. 5/8·(16) + 0 = 10; заданная ордината 10. Точка принадлежит графику.
13. -2/3·(-6) − 1 = 3; заданная ордината 3. Точка принадлежит графику.
14. 7/4·(4) − 3 = 4; заданная ордината 5. Точка не принадлежит графику (ординаты различаются).
15. -3/5·(5) + 2 = -1; заданная ордината -1. Точка принадлежит графику.
16. 2/7·(7) + 4 = 6; заданная ордината 7. Точка не принадлежит графику (ординаты различаются).
17. -5/6·(12) + 0 = -10; заданная ордината -10. Точка принадлежит графику.
18. 1/3·(2) − 4 = -10/3; заданная ордината -10/3. Точка принадлежит графику.

Самопроверка после каждого варианта

Научитесь замечать три типичные ошибки: числитель и знаменатель дроби меняют местами; отрицательное x теряет знак; полученную дробь округляют и делают поспешный вывод о равенстве. Правильный порядок действий: произведение, прибавление b, точное сравнение с ординатой. При спорной точке посчитайте заново, а не меняйте условие.

Для более сильных учеников: объясните, почему подстановка x = 0 не проверяет дробный наклон: в этом случае для любой величины k получаем y = b, поэтому она контролирует только свободный член.