Определение числа решений системы в задаче на смесь двух сортов — карточки с ответами, 7 класс

7 класс · системы уравнений · табличный практикум. Каждая карточка описывает смешивание двух сортов сырья с известной массовой долей одного и того же компонента. Требуется не только рассчитать массы, но и определить число допустимых решений: ноль, одно или бесконечно много. Считаем массу каждого сорта неотрицательной; нулевую массу допускаем, если сорт в результате не добавлялся.

Одна таблица — три принципиально разных ответа

Обозначим x — массу первого сорта, y — второго. При общей массе M и долях a%, b%, t% получаем систему x+y=M и ax+by=tM. Проценты можно не делить на 100, поскольку они сокращаются с обеих сторон. После вычисления обязательно проверьте x≥0 и y≥0. Алгебраическое решение с отрицательной массой не является решением задачи о смеси.

Шаг 1. Прочитайте модель до вычислений

Для каждой строки запишите два уравнения, назовите допустимые значения x и y, а затем классифицируйте число решений. Не заменяйте математический вопрос обычным подбором долей: например, два одинаковых по содержанию сорта дают не одно, а бесконечно много возможных распределений массы при совпадающей цели. Если цель выше обоих исходных процентов, такая смесь невозможна.

Шаг 2. Найдите противоречия и граничные случаи

Обратите особое внимание на строки с равными концентрациями и на строки, где нужный процент совпадает с концентрацией одного сорта. Совпадение с одной границей не означает отсутствие решения: можно взять только этот сорт, а массу другого считать равной нулю. Напротив, если заданный процент лежит вне отрезка между процентами сортов, физического решения нет, хотя формальная система двух уравнений иногда имеет единственную пару действительных чисел.

Проверенные решения всех 16 карточек

1. № 1: одно. Из x+y=20 и 12x+28y=400 следует x=10 кг, y=10 кг. Проверка: 12·10+28·10=400, поэтому итоговая доля 20%.
2. № 2: одно. Из x+y=16 и 18x+42y=480 следует x=8 кг, y=8 кг. Проверка: 18·8+42·8=480, поэтому итоговая доля 30%.
3. № 3: одно. Из x+y=24 и 10x+40y=360 следует x=20 кг, y=4 кг. Проверка: 10·20+40·4=360, поэтому итоговая доля 15%.
4. № 4: одно. Из x+y=18 и 8x+32y=360 следует x=9 кг, y=9 кг. Проверка: 8·9+32·9=360, поэтому итоговая доля 20%.
5. № 5: бесконечно много. Для любого x в отрезке [0; 30] можно взять y=30−x. Обе доли равны 20%, поэтому любая допустимая смесь даёт 20%.
6. № 6: нет. Оба сорта содержат 15%, а требуются 20%. При любой смеси доля остаётся 15%, потому что 15x+15y=15(x+y).
7. № 7: одно. Из x+y=15 и 6x+18y=90 следует x=15 кг, y=0 кг. Проверка: 6·15+18·0=90, поэтому итоговая доля 6%.
8. № 8: одно. Из x+y=20 и 7x+21y=420 следует x=0 кг, y=20 кг. Проверка: 7·0+21·20=420, поэтому итоговая доля 21%.
9. № 9: нет. Формальное решение x=-5, y=25 кг нарушает требование неотрицательности масс. Целевая доля 50% выходит за границы между 25% и 45%.
10. № 10: одно. Из x+y=24 и 30x+50y=960 следует x=12 кг, y=12 кг. Проверка: 30·12+50·12=960, поэтому итоговая доля 40%.
11. № 11: бесконечно много. Для любого x в отрезке [0; 36] можно взять y=36−x. Обе доли равны 11%, поэтому любая допустимая смесь даёт 11%.
12. № 12: одно. Из x+y=30 и 14x+26y=660 следует x=10 кг, y=20 кг. Проверка: 14·10+26·20=660, поэтому итоговая доля 22%.
13. № 13: одно. Из x+y=18 и 5x+25y=216 следует x=11,7 кг, y=6,3 кг. Проверка: 5·11,7+25·6,3=216, поэтому итоговая доля 12%.
14. № 14: одно. Из x+y=40 и 16x+34y=1000 следует x=20 кг, y=20 кг. Проверка: 16·20+34·20=1000, поэтому итоговая доля 25%.
15. № 15: одно. Из x+y=36 и 9x+27y=648 следует x=18 кг, y=18 кг. Проверка: 9·18+27·18=648, поэтому итоговая доля 18%.
16. № 16: нет. Оба сорта содержат 40%, а требуются 35%. При любой смеси доля остаётся 40%, потому что 40x+40y=40(x+y).

Обратная проверка обязательна: (1) массы должны дать заданный общий вес; (2) суммарная масса компонента должна соответствовать целевому проценту; (3) обе массы неотрицательны. В вариантах с бесконечным числом решений приведите хотя бы две разные пары масс, например x=0 и x=M. Если задача запрещает отсутствие одного сорта, концевые значения исключаются, но при M>0 промежуточных пар всё равно бесконечно много.