Определение числа решений системы по условиям на сумму и разность: диагностика ошибок, 7 класс

7 класс · диагностика ошибок · обратная проверка. Задачи посвящены тому, как по сумме и разности двух чисел определить число решений системы. Важно отделять число действительных решений от числа решений с дополнительным условием «неотрицательные целые». Эти ответы могут не совпадать.

Разобранный пример: перепроверьте «очевидный» ответ

Ученик решил x+y=15, x−y=3 и написал x=9, y=6. Проверим: 9+6=15 и 9−6=3. Обе строки верны; решение действительно единственное, ведь сложение уравнений даёт 2x=18. Если же по ошибке написать x=6, y=9, первое равенство сохранится, но разность станет −3. Проверка только суммы ничего не доказывает.

Изменённое условие: от действительных чисел к целым

Возьмём x+y=11, x−y=2. Для действительных чисел получаем x=6,5 и y=4,5. Для неотрицательных целых чисел решений нет. Не превращайте 6,5 и 4,5 в 7 и 4 округлением: округлённая пара не выполняет разность. Точно так же нельзя принимать отрицательное число, когда условие говорит о количестве предметов.

Карточки 1–12: найдите пару или докажите невозможность

1. Дано x+y=10, x−y=4. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — действительные числа? Проверьте предположение подстановкой.
2. Дано x+y=15, x−y=-3. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — действительные числа? Проверьте предположение подстановкой.
3. Дано x+y=18, x−y=8. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
4. Дано x+y=11, x−y=2. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
5. Дано x+y=14, x−y=14. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
6. Дано x+y=8, x−y=12. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
7. Дано x+y=17, x−y=5. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
8. Дано x+y=9, x−y=10. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
9. Дано x+y=20, x−y=6. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — действительные числа? Проверьте предположение подстановкой.
10. Дано x+y=21, x−y=-1. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
11. Дано x+y=12, x−y=0. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.
12. Дано x+y=13, x−y=13. Сколько пар (x,y) удовлетворяют системе, если x и y — целые неотрицательные числа? Проверьте предположение подстановкой.

Сначала сложите и вычтите исходные уравнения, получив x=(S+D)/2, y=(S−D)/2. Затем проверьте принадлежность нужной области. Для неотрицательных целых чисел важны обе проверки: (S+D) и (S−D) делятся на 2, а найденные числа не меньше нуля. Если это не выполнено, не нужно подбирать другие пары — единственное действительное решение уже найдено.

Карточки 13–16: две строки могут обозначать одно условие

1. Рассмотрите систему x+y=7; 2x+2y=14, x,y — действительные числа. Ученик сказал «две строки — одно решение». Проверьте, сколько решений на самом деле.
2. Рассмотрите систему x−y=5; 3x−3y=12, x,y — действительные числа. Ученик сказал «две строки — одно решение». Проверьте, сколько решений на самом деле.
3. Рассмотрите систему x+y=9; 4x+4y=36, x,y — действительные числа. Ученик сказал «две строки — одно решение». Проверьте, сколько решений на самом деле.
4. Рассмотрите систему x−y=−2; -2x−-2y=5, x,y — действительные числа. Ученик сказал «две строки — одно решение». Проверьте, сколько решений на самом деле.

Здесь основная ловушка другая. Если одно равенство получается из второго умножением обеих частей на одно и то же ненулевое число, это не две независимые связи и остаётся бесконечно много действительных решений. Если при одинаковых коэффициентах получаются несовместимые правые части, система противоречива. Сначала проверяйте зависимость условий, только затем пытайтесь вычислить единственную пару.

Полный ключ с обратной подстановкой

1. Одна пара: x=(10+(4))/2=7, y=(10−(4))/2=3. Проверка: x+y=10, x−y=4. Выбранная область значений соблюдена.
2. Одна пара: x=(15+(-3))/2=6, y=(15−(-3))/2=9. Проверка: x+y=15, x−y=-3. Выбранная область значений соблюдена.
3. Одна пара: x=(18+(8))/2=13, y=(18−(8))/2=5. Проверка: x+y=18, x−y=8. Выбранная область значений соблюдена.
4. Ни одной допустимой пары. Единственная действительная пара x=6,5, y=4,5 не принадлежит указанной области: хотя бы одно число не целое.
5. Одна пара: x=(14+(14))/2=14, y=(14−(14))/2=0. Проверка: x+y=14, x−y=14. Выбранная область значений соблюдена.
6. Ни одной допустимой пары. Единственная действительная пара x=10, y=-2 не принадлежит указанной области: получается отрицательное число.
7. Одна пара: x=(17+(5))/2=11, y=(17−(5))/2=6. Проверка: x+y=17, x−y=5. Выбранная область значений соблюдена.
8. Ни одной допустимой пары. Единственная действительная пара x=9,5, y=-0,5 не принадлежит указанной области: получается отрицательное число.
9. Одна пара: x=(20+(6))/2=13, y=(20−(6))/2=7. Проверка: x+y=20, x−y=6. Выбранная область значений соблюдена.
10. Одна пара: x=(21+(-1))/2=10, y=(21−(-1))/2=11. Проверка: x+y=21, x−y=-1. Выбранная область значений соблюдена.
11. Одна пара: x=(12+(0))/2=6, y=(12−(0))/2=6. Проверка: x+y=12, x−y=0. Выбранная область значений соблюдена.
12. Одна пара: x=(13+(13))/2=13, y=(13−(13))/2=0. Проверка: x+y=13, x−y=13. Выбранная область значений соблюдена.
13. Бесконечно много пар. Вторая строка получается умножением первой на 2; это одно и то же ограничение, а свободный параметр остаётся.
14. Ни одной пары. Вторая строка противоречит первой: из неё следовало бы 15, а написано 12.
15. Бесконечно много пар. Вторая строка получается умножением первой на 4; это одно и то же ограничение, а свободный параметр остаётся.
16. Ни одной пары. Вторая строка противоречит первой: из неё следовало бы 4, а написано 5.

Разберите ошибки отдельно: перепутана разность x−y и y−x; забыта заданная область чисел; округлён нецелый ответ; две пропорциональные строки ошибочно признаны независимыми. Полезный критерий хорошего решения — не только правильная пара, но и объяснение, почему иных допустимых пар нет либо почему их бесконечно много.