Проверка существования треугольника для треугольника с ограничениями сторон: математический практикум для 7 класса

7 класс · быстрая диагностика. Проверьте, может ли существовать невырожденный треугольник при заданных длинах и дополнительных ограничениях. Все длины положительны. Равенство суммы двух сторон третьей стороне не подходит: вершины окажутся на одной прямой.

Три стартовых вопроса

1. Можно ли построить треугольник со сторонами 4, 6 и 10 см?
2. Возможен ли треугольник со сторонами 5, 7 и 9 см?
3. Для сторон 8, 3 и 4 см ученик написал «треугольник есть». Проверьте.

Девять карточек с ограничением на сторону

1. Две стороны равны 7 и 12 см. Перечислите все целые положительные значения третьей стороны.
2. Стороны: 9, 9 и c см, где c — положительное целое и c≤20. Найдите допустимые c.
3. Стороны: 11, 6 и c см, причём 2≤c≤9. Какие целые c разрешены?
4. Стороны: 4, 13 и c см, причём 1≤c≤8. Возможна ли фигура?
5. Стороны: 6, c и 10 см, причём c — чётное положительное число меньше 15. Найдите все значения.
6. Стороны: 7, 8 и c см. Требуется периметр 26 см. Проверьте существование.
7. Стороны 5 и 12 см, а третья не меньше 17 см. Возможен ли треугольник?
8. Стороны: c, c+2 и 12 см, где c — целое и 3≤c≤8. Найдите допустимые c.
9. Стороны: 8, 15 и c см; c кратно 3 и 4≤c≤20. Найдите варианты.

Полезный частный случай: если третью сторону c требуется выбрать целым числом, нельзя сначала округлить границы интервала как попало. Например, при известных сторонах 7 и 12 условие 5

В задачах про периметр сначала найдите пропущенную сторону как разность заданного периметра и известных сторон. Это число может оказаться отрицательным, нулём или слишком большим. Даже положительная длина не гарантирует существование треугольника. Если дано условие c≤8, а необходимая граница c>9, достаточно указать несовместимость — перебирать все числа от 1 до 8 незачем. Эти рассуждения полезны в заданиях 7–12.

Ключ и короткие пояснения

1. Нет: 4+6=10, а требуется строгое неравенство; получится отрезок.
2. Да: 5+7>9. Другие две суммы также больше третьей стороны.
3. Нет: 3+4=7<8; длины не замыкаются.
4. Необходимо 12−7
5. 0
6. 5
7. Нет: нужно 9
8. 4
9. Из 7+8+c=26 следует c=11; 7+8>11, значит треугольник существует.
10. Нет: третья сторона должна быть строго меньше 5+12=17 см.
11. Условие c+(c+2)>12 даёт 2c>10, c>5. При данном ограничении c=6,7,8.
12. 7

Метод проверки: для известных a и b сначала запишите |a−b|